Рішення геометричних задач з диференціальними рівняннями
8. Крива прогину гнучкої нерозтяжної нитки
У двох крапках і на одному рівні й на відстані друг від друга підвішена нитка. Потрібно знайти форму, що прийме ця нитка під дією сили ваги. Нехай крива на малюнку зображує цю форму, і розглянемо який-небудь елемент довжини ds .
Одне з основних пропозицій механіки полягає в тому, що цей елемент повинен бути в рівновазі під дією сил, що діють на нього. Ці сили суть:
a) його власна вага, що є силоміць, що діє вертикально долілиць;
b) натяг нитки в нижньому кінці, що діє в напрямку дотичної в цій крапці;
c) натяг нитки у верхньому кінці, що діє в напрямку дотичної в цій крапці.
Позначимо нахили дотичних у двох кінцях через -- и і и + , напруги -- через Т и T + dT і лінійна вага нитки -- через т. Тоді, якщо три сили розкладені на їх х-х- і y- компоненти, ми одержимо відповідно:
Якщо елемент нитки повинен бути в рівновазі, під дією цих сил необхідно, щоб сума компонентів X і сума компонент У нулями, тобто:
Ділячи по членне ці рівняння, маємо:
Перше з рівнянь (1) затверджує, що горизонтальний компонент натягу та сама у двох кінцях елемента ds.
Тому що елемент ds довільно обраний, те звідси треба, що цей компонент та сама в кожній крапці кривої . Якщо позначимо її через k, то (2) прикмет вид:
Якщо ми запишемо це останнє у вигляді
і будемо наближати ds і d? до нуля, те ліва частина рівняння звернеться в похідну tan ?. Отже:
Це і є диференціальне рівняння шуканій кривій, виражене, як говорять математики, у внутрішній формі, тобто воно виражає довжину s, обмірювану, починаючи з деякої крапки, у функції нахилу дотичній. Для багатьох питань, однак, внутрішня форма не дуже зручна, і тому краще звести її до звичайної декартової формі. Для цього потрібно зробити заміну обох змінних s і ? на х и в, повязаних з першими співвідношеннями:
Змінне s виключається, якщо ми помітимо, що
Це дає
Диференціюючи перше з рівнянні (4) по х, ми одержуємо:
Результат підстановки буде тому:
Спростивши (5), одержуємо:
Це і є диференціальне рівняння кривої прогину нитки, виражене у функції декартових координат х и в.