2.5 Сфера как единственная овальная поверхность постоянной средней кривизны

Теорема, аналогичная предыдущей, имеет место и в том случае, если потребовать, чтобы на поверхности вместо меры кривизны была постоянной средняя кривизна:

.

Эта теорема также доказана Либманом. Замкнутую выпуклую поверхность, которую мы будем считать всюду правильной и аналитической и кроме того всюду обладающей положительной мерой кривизны, мы будем называть овальной поверхностью. Тогда теорема можно сформулировать следующим образом: сфера есть единственная овальная поверхность, имеющая постоянную среднюю кривизну.

Эту теорему можно свести к предыдущей с помощью приема, указанного Бонне. Для этого необходимо предварительно установить следующее предложение: среди поверхностей, параллельных некоторой поверхности постоянной положительной кривизны, существует одна, средняя кривизна которой постоянна, и обратно.

Пусть есть поверхность, для которой , и пусть - единичный вектор ее нормали. Тогда параллельная ей поверхность имеет среднюю кривизну . Действительно, для линий кривизны поверхности мы имеем согласно формулам Родрига:

Линиям кривизны поверхности отвечают линии кривизны поверхности , так как . Соответственные главные радиусы кривизны связаны соотношением . Поэтому в силу соотношения мы имеем:

.

Доказательство прямого утверждения завершено.

Докажем обратное предложение, т.е. среди поверхностей, параллельных некоторой поверхности постоянной средней кривизны, существует поверхность, гауссова кривизна которой постоянна.

Имеем овальную поверхность, средняя кривизна которой удовлетворяет уравнению , а - единичный вектор ее нормали. Тогда параллельная ей поверхность имеет гауссову кривизну . Это следует из следующих рассуждений. Для линий кривизны поверхности мы имеем согласно формулам Родрига:

Линиям кривизны поверхности отвечают линии кривизны поверхности , так как . Соответственные главные радиусы кривизны связаны соотношением . Поэтому в силу соотношения мы имеем:

.

Доказательство завершено.

Теорема о жесткости сферы может быть в суженном объеме распространена на произвольные овальные поверхности. Этому распространению мы тоже обязаны Либману. Теорема звучит следующим образом: если изменение, которому подвергается овальная поверхность должно быть непрерывным и изометрическим, то поверхность эта может только перемещаться как твердое тело.