Рішення лінійних рівнянь першого порядку

курсовая работа

4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

Метод Ейлера полягає в наступному.

Рішення системи (1) перебуває у вигляді:

(5)

Функція (5) є рішенням системи (1), якщо - власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, що відповідає числу .

Якщо власні значення 1, 2, …,n матриці А попарно різні й a1, a2, …, an відповідні власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:

де З1, З2, …, Сn - довільні числа.

Для випадку кратних корінь рішення системи приймає вид

(6)

де Pi (x) - поліноми ступеня не вище, ніж (до-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а залишилися до·n-k выражаются через них. Якщо для кратного власного значення матриці А є стільки лінійно незалежних власних векторів , яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:

Якщо для власного значення кратності k є тільки m (m<k) лінійно незалежних власних векторів, то рішення, що відповідають , можна шукати у вигляді добутку векторного багаточлена ступеня k - m на , тобто у вигляді:

Щоб знайти вектори , треба підставити вираження (4) у систему (3). Дорівнявши коефіцієнти подібних членів у лівій і правій частинах системи, одержимо рівняння для знаходження векторів .

Для даного завдання минулого знайдені наступні власні значення:

.

Побудували фундаментальну систему рішень:

Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа . Запишемо третій рядок рішень у загальному виді:

Де аij знайдемо по вираженню:

або

Отримана матриця:

Вирішуємо систему:

Отриманих корінь:

Тоді перший рядок буде мати вигляд:

Аналогічно знайдемо другий рядок фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа - 1. Отримані значення:

Тоді другий рядок буде мати вигляд:

Знайдемо третю й четверту рядки фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа . Сполучений корінь не породжує нових речовинних лінійно незалежних приватних рішень.

Отримані значення:

Відокремлюючи в ньому речовинні й мнимі частини, одержимо два речовинних рішення, які й становлять першу й другу рядки фундаментальної матриці рішень

Аналогічно інші 3:

Запишемо знайдену фундаментальну матрицю рішень:

Помножимо транспоновану фундаментальну матрицю рішень на вектор вільних коефіцієнтів і одержимо вектор загального рішення вихідної системи:

Зробимо перевірку знайденого рішення в такий спосіб:

Одержуємо нульову матрицю-стовпець:

що показує, що загальне рішення знайдене вірно.

Делись добром ;)