Найпростіші рівняння й нерівності з модулем
До найпростішого (не обовязково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:
Приклади рішення найпростіших рівнянь.
Приклад Вирішимо рівняння
.
Рішення.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо рівняння
.
Рішення.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо рівняння
.
Рішення.
Відповідь. .
Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули -- ).
Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Тому що , те ми маємо рівність виду , де , . Тому вихідне рівняння рівносильне системі:
Відповідь. .
Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Заганяємо коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ізолюємо суму модулів:
По константах одержуємо . Дійсно, , тобто рівняння має вигляд . Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:
тобто .
Відповідь. .
До найпростішого (не обовязково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:
Приклади рішення найпростіших нерівностей.
Приклад Вирішимо нерівність .
Рішення.
.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо нерівність
.
Рішення.
Відповідь. .
Як не дивно, але досить, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.
Приклад Вирішити нерівність
Рішення.
Відповідь. .
Приклад Вирішити нерівність
Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд . Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виражень, маємо
Відповідь. .
Приклад При яких значеннях параметра нерівність
виконується при всіх значеннях ?
Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:
Виконання для всіх вихідної нерівності рівносильне виконанню для всіх нерівностей останньої системи. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричленів непозитивні:
Відповідь. .
Приклад Знайти всі значення параметра , при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності
максимально.
Рішення. Тому що
те вихідне рівняння рівносильне системі:
Оскільки обоє нерівності в системі лінійні відносно . Вирішимо систему відносно :
Умови існування параметра рівносильне вимозі
Нерівність повідомляє всі значення, які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа із проміжку , тобто
Природно, що для будь-якого цілого числа з набору треба зясувати, при яких значеннях параметра це число буде рішенням вихідної нерівності.
Оскільки вихідна нерівність рівносильна , те по черзі підставляючи числа з набору в нерівності , ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо
Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленних рішень, скористаємося ``розгорненням, отриманої інформації уздовж від параметра (див. мал. ):
Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли або .
Відповідь. .
- Введення
- Абсолютна величина і її властивості
- Найпростіші рівняння й нерівності з модулем
- Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем
- Інші способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем
- Метод розкриття модулів
- Використання тотожності , при рішенні рівнянь
- Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень
- Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації
- Рішення рівнянь із використанням тотожності
- Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь
- Рішення рівнянь переходом до наслідку
- Рішення рівнянь методом інтервалів
- Рішення рівнянь домноження на позитивний множник
- Типові тестові задачі, що містять змінну під знаком модуля
- Висновок
- Тема 4. Методика вивчення рівнянь і нерівностей у основній школі.
- 34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- 6.3. Системи рівнянь.
- Рішення систем рівнянь за допомогою функцій Find або Minner
- Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей
- Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей.
- 28. Методика вивчення рівнянь і нерівностей в курсі алгебри і початків аналізу.
- 26. Методика вивчення показникових рівнянь
- Графічний спосіб розв’язування рівнянь, нерівностей, систем.
- Лінійна алгебра Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Арифметичний n‑вимірний векторний простір