Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

До найпростішого (не обовязково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

Приклади рішення найпростіших рівнянь.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення.

Відповідь. .

Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули -- ).

Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Тому що , те ми маємо рівність виду , де , . Тому вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь. .

Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Заганяємо коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ізолюємо суму модулів:

По константах одержуємо . Дійсно, , тобто рівняння має вигляд . Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:

тобто .

Відповідь. .

До найпростішого (не обовязково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

Приклади рішення найпростіших нерівностей.

Приклад Вирішимо нерівність .

Рішення.

.

Відповідь. .

Приклад Вирішимо нерівність

.

Рішення.

Відповідь. .

Як не дивно, але досить, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення.

Відповідь. .

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд . Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виражень, маємо

Відповідь. .

Приклад При яких значеннях параметра нерівність

виконується при всіх значеннях ?

Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:

Виконання для всіх вихідної нерівності рівносильне виконанню для всіх нерівностей останньої системи. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричленів непозитивні:

Відповідь. .

Приклад Знайти всі значення параметра , при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності

максимально.

Рішення. Тому що

те вихідне рівняння рівносильне системі:

Оскільки обоє нерівності в системі лінійні відносно . Вирішимо систему відносно :

Умови існування параметра рівносильне вимозі

Нерівність повідомляє всі значення, які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа із проміжку , тобто

Природно, що для будь-якого цілого числа з набору треба зясувати, при яких значеннях параметра це число буде рішенням вихідної нерівності.

Оскільки вихідна нерівність рівносильна , те по черзі підставляючи числа з набору в нерівності , ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо

Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленних рішень, скористаємося ``розгорненням, отриманої інформації уздовж від параметра (див. мал. ):

Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли або .

Відповідь. .