Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

дипломная работа

Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації

Геометричний зміст вираження --- довжина відрізка координатної осі, що зєднує крапки з абсцисами й . Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладень.

Приклад Вирішимо рівняння

.

Рішення. Будемо міркувати в такий спосіб: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої крапки з абсцисою до двох фіксованих крапок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі крапки з абсцисами з відрізка мають необхідну властивість, а крапки, розташовані поза цим відрізком,--- немає.

Відповідь. .

Приклад Вирішимо рівняння .

Рішення. Міркуючи аналогічно, одержимо, що різниця відстаней до крапок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для крапок, розташованих на координатній осі правіше числа 2.

Відповідь. .

Приклад Вирішити нерівність .

Рішення. Зобразимо на координатної прямої крапки, сума відстаней від яких до крапок і в точності дорівнює . Це всі крапки відрізка . Для всіх чисел поза даним відрізком сума відстаней буде більше двох.

Відповідь. .

Зауваження. Узагальненням рішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:

Приклад Вирішите нерівність: .

Рішення. Вирішимо нерівність, використовуючи координатну пряму. Дана нерівність виконується для всіх крапок c координатою, які перебувають ближче до крапки з координатою , чим до крапки з координатою . Тому що , те шуканими є всі крапки, розташовані лівіше крапки з координатою .

Відповідь. .

Приклад Вирішите рівняння

.

Рішення. Розглянемо на числовій прямій крапку з координатою . Сума дорівнює сумі відстаней від крапки до крапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней від будь-якої крапки до крапок і не менше довжини відрізка (і рівність досягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку ). Звідси одержуємо, що не менше 4, а не менше 2 при кожному . Тому для того, щоб сума була дорівнює , необхідно, щоб . Отже, необхідно дорівнює . Легко перевірити, що значення дійсно є рішенням даного рівняння.

Відповідь. .

Приклад Гальперин Г.О. Позитивні числа , , і такі, що система рівнянь

має рішень, а система рівнянь

має рішень. Відомо, що . Знайдіть і .

Рішення. Перше рівняння є рівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двох перших рівнянь залежно від і або не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже, може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осях координат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від і або не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже, може рівнятися або 0, або 6, або 8, або . Умові задовольняє тільки варіант , .

Відповідь. , .

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості ще одного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету Спбгу:

Приклад Даний функція: .

а) Вирішите рівняння ;

б) Вирішите нерівність ;

в) Знайдіть кількість рішень рівняння залежно від значень параметра .

Рішення. Побудуємо графік функції . Для цього помітимо, що , а тоді ми можемо спочатку побудувати графіка функції , і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираження, що задає функцію :

Оскільки дана система визначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідної функції являє собою обєднання двох півкіл (див. мал. ).

Тепер рішення задач не представляє праці:

а) Корінь рівняння є абсциса крапки перетинання прямій із графіком функції . Знайдемо неї геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює ), його гіпотенуза є радіус окружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є , а шукана абсциса дорівнює .

б) Нерівність виконана при всіх з відрізка .

в) При , рішень ні, при рівняння має три рішення, при --- чотири рішення, при --- два рішення.

Делись добром ;)