Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек
3.1 Основные понятия и свойства
Седловые поверхности в известном смысле противоположны по своим свойствам выпуклым поверхностям. Как и выпуклые поверхности, они могут быть определены чисто геометрически, а в регулярном случае имеют простую аналитическую характеристику - неположительность гауссовой кривизны.
Пусть F - поверхность, определяемая погружением двумерного многообразия в . Говорят, что плоскость P отсекает от F горбушку, если среди компонент прообраза множества FP в имеется компонента G с компактным замыканием. Часть поверхности F, соответствующая этой компоненте G, называется горбушкой. Очевидно, горбушка будет поверхностью, которая имеет границу , лежащую в плоскости P. Примеры горбушек приведены на рис.16.
Поверхность F в называется седловой, если она не допускает отсечения горбушек никакой плоскостью. Примерами седловых поверхностей являются однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид, любая линейчатая поверхность, катеноид и т.д.
Из определения следует, что среди седловых поверхностей в нет замкнутых поверхностей.
Определение седловых поверхностей не связано, как и в случае выпуклых поверхностей, ни с какими требованиями регулярности. Это позволяет исследовать нерегулярные седловые поверхности.
Теорема: Для того чтобы поверхность F класса в была седловой, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке Х поверхности F ее гауссова кривизна К(Х) была неположительна.
Доказательство.
Необходимость. Пусть F - седловая поверхность. Допустим, что в точке гауссова кривизна . Тогда некоторая окрестность точки на F лежит по одну сторону от касательной плоскости Т к F в точке , причем порядок седлообразности равен 0. Любая плоскость , параллельная Т, достаточно близкая к Т и лежащая с по одну сторону от Т, отсекает от F горбушку, что невозможно (рис.17).
Поэтому везде на F.
Достаточность. Пусть везде на F. Допустим, что плоскость Р отсекает от F горбушку Ф с границей . Множество Ф компактно в . Поэтому можно взять эллиптический параболоид П, от которого Р отсекает такую горбушку , что Ф лежит между и Р, причем - пустое множество (рис.18). Рассмотрим семейство параболоидов, полученных из П аффинным сжатием к плоскости Р. В этом семействе найдется параболоид , который имеет с Ф общую точку , но Ф лежит между Р и горбушкой , отсеченной от Ф плоскостью Р. В точке поверхности F и касаются, и все нормальные кривизны у F и в этой точке имеют один знак. Поэтому в точке гауссова кривизна . Получили противоречие с условием теоремы. Теорема доказана.
Следствие: На каждой горбушке регулярной поверхности существует точка, в которой гауссова кривизна положительна.
Перейдем теперь к построению в примеров полных поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, эйлерова характеристика которых может принимать любое значение . При этом среди построенных примеров имеются поверхности любого рода. Метод построения таких поверхностей был указан Ж.Адамаром в 1898 г.
Заметим прежде всего, что если F - гиперболический параболоид, то , а если F - однополостный гиперболоид, то . Будем строить теперь поверхность F, для которой .
Возьмем два однополостных гиперболоида вращения и , заданных уравнениями
Гиперболоиды и пересекаются в плоскости Q: по гиперболе. Пусть поверхность получена из и следующим образом: от отрезана часть, лежащая в двугранном угле , ; от отрезана часть, лежащая в двугранном угле , ; оставшиеся части склеены по ветви гиперболы , лежащей в верхней полуплоскости плоскости Q (рис.19). Вдоль поверхность имеет седлообразное ребро, а ниже плоскости P: по другой ветви гиперболы - самопересечение.
Сгладим ребро поверхности . Плоскость R: пересекает над отрезком по кривой , заданной уравнением
(3)
Над отрезком зададим функцию
(4)
такую, что выполняются равенства
(5)
Коэффициенты определяются равенствами (5). На интервале зададим функцию
(6)
Из равенств (3)-(6) следует, что и . Легко подсчитать, что . В полосе U: на плоскости Р определим функцию
. (7)
Ее графиком будет поверхность отрицательной кривизны, поскольку
. (8)
Над полосой : поверхность совпадает с гиперболоидом , а над полосой : - с гиперболоидом . Поэтому, заменяя над полосой U часть поверхности , лежащую выше плоскости Р, поверхностью , получим поверхность , в каждой точке которой гауссова кривизна отрицательна. У поверхности F эйлерова характеристика .
Очевидно, что, увеличивая число исходных гиперболоидов и сглаживая различное число получившихся ребер, можно получить поверхность F любой эйлеровой характеристики и любого рода с любым числом бесконечно удаленных точек (рис.20) Регулярность сглаживания можно повысить до класса за счет последующего приближения средними функциями.
Для сглаживания плоских ребер седловых поверхностей ряд общих способов был разработан Э.Р.Розендорном. В 1961 г. им был построен пример, опровергнувший считавшуюся весьма правдоподобной до того времени гипотезу о том, что любая полная седловая поверхность в будет неограниченной. Построение такого примера потребовало проведения серии трудоемких вычислений. Не воспроизводя их здесь, приведем достаточно детальную схему построения примера Э.Р.Розендорна.
Возьмем числовую последовательность с такими свойствами:
(9)
Построим в систему концентрических сфер с радиусами и центром в фиксированной точке О. Предельная для сфера S имеет радиус R. Построим в граф G, состоящий из прямолинейных отрезков и обладающий следующими свойствами:
1) граф G гомеоморфен графу Г - универсальной накрывающей букета двух окружнотей;
2) узлы ранга графа G лежат на сфере (полагаем, что );
3) любые четыре точки - концы четырех отрезков, исходящих из одного узла графа , - будут вершинами тетраэдра, внутр которого лежит узел ; тетраэдр, внутри которого лежит точка , правильный;
4) длина любого звена ранга графа G, т.е. звена, соединяющего узел ранга с узлом ранга , больше ;
5) граф G не имеет самопересечений.
Граф G может быть построен. Отметим, что условие 4) указывает на то, что углы между звеньями ранга и радиусами сфер , проведенными в их концы, стремятся к , когда . Из соотношений (9) вытекает, что длина ломаной , соединяющей точку с О, стремится , когда точка А уходит к сфере S, т.е. граф G полон относительно своей внутренней метрики. Граф G является как бы "скелетом", вокруг которого будет построена искомая полная седловая поверхность. Эта поверхность состоит из однотипных деталей. Опишем строение такой детали. Возьмем правильный тетраэдр Т с вершинами в точках . Впишем в Т четыре конуса с вершинами в точках , направляющими которых будут окружности, вписанные в грань, противоположную вершине . Возьмем конус и через ребра проведем плоскости, делящие пополам соответствующие двугранные углы тетраэдра Т. Эти плоскости отсекут от некоторую часть с вершиной в точке , ограниченную тремя дугами эллипсов с концами в центрах граней (рис.21). Аналогично определяются части , , конусов , , . Построим поверхность .
Поверхность имеет четыре конические точки и шесть плоских седловых ребер, лежащих на краях поверхностей . Если из удалить точки и сгладить плоские седловые ребра, то можно поучить гладкую седловую поверхность Р, у которой четыре граничные точки (рис.22).
Теперь на каждом звене графа G фиксируем некоторую точку . Четыре точки , лежащие в звеньях , имеющих общую вершину , будут вершинами тетраэдра . Пусть - аффинное преобразование, переводящее Т в , а . Построим "поверхность"
. (10)
(Множество не будет поверхностью, так как точки не имеют на окрестности, гомеоморфной кругу.) В окрестности каждой точки исправим "поверхность" , заменив некоторую часть этой "поверхности" седловой кольцевой поверхностью, касающейся . Сделав все такие замены, получим искомую полную гладкую седловую поверхность F, лежащую внутри сферы S (рис.23).
Указанные выше построения можно несколько изменить и получить в полную седловую поверхность класса , лежащую внутри S, у которой гауссова кривизна обращается в нуль лишь на счетном множестве изолированных точек, соответствующих центрам граней тетраэдров .
В 1915 г. С.Н.Бернштейн исследовал строение полных седловых поверхностей, заданных уравнением над всей плоскостью.
Теорема 1: Пусть поверхность F задана в уравнением
, (11)
где и определена на всей плоскости . Если гауссова кривизна К поверхности Р неположительна и имеются точки, в которых К<0, то
. (12)
При доказательстве этой теоремы фактически используется лишь седлообразность поверхности F. Это позволило Г.М.Адельсону-Вельскому доказать следующее обобщение теоремы С.Н.Бернштейна.
Теорема 2: Пусть седловая поверхность F в задана уравнением , где непрерывная функция определена на всей плоскости . Тогда, если , то F - цилиндрическая поверхность.
Кроме того, С.Н.Бернштейн получил следующее обобщение теоремы 1.
Теорема 3: Если поверхность F удовлетворяет условиям теоремы 1, то возможно указать такое , что неравенство
не осуществимо для всех , каково бы ни было данное число .
В качестве приложения теоремы 1 приведем теорему Бернштейна о минимальных поверхностях в . Напомним, что минимальной поверхностью называется поверхность, на которой средняя кривизна .
Теорема 4: Если минимальная поверхность задана над всей плоскостью уравнением , то F является плоскостью.