1. Розвязання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

1. Основні означення та результати

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

(1)

Означення. Розвязком системи (1) називається сукупність значень невідомих

що задовольняють усі рівняння системи (1).

Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розвязок, і несумісною, якщо вона не має розвязків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розвязок, і невизначеною, якщо вона має безліч розвязків.

Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розвязок однієї системи є розвязком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Будь-який метод розвязування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розвязок уже легко знайти.

Запишемо вектори-стовпці

. (2)

Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розвязок, необхідно і достатньо, щоб вектор був лінійною комбінацією векторів , тобто щоб ранг r системи векторів дорівнював рангу розширеної системи векторів .

Звідси дістаємо умову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь.

Для того щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці

(3)

дорівнював рангу розширеної матриці

.

Нехай система рівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність

.

Якщо, , то всі рівняння системи (1) лінійно незалежні. У матриці А візьмемо мінор порядку , відмінний від нуля. Цей мінор називається базисним.

Очевидно, що вибір базисного мінора неоднозначний. Якщо , то рівняння, коефіцієнти яких входять до базисного мінора, лінійно незалежні, причому решта рівнянь є лінійними комбінаціями лінійно незалежних рівнянь.

Якщо , то всі шукані змінні визначаються єдиним чином. Якщо , то змінні, коефіцієнти при яких входять до базисного мінора, називаються базисними.

Решту змінних називають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільні змінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільні невідомі дорівнюють нулю, то відповідний розвязок системи (1) називається базисним.

Розглянемо однорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1):

(4)

Вона сумісна, бо завжди має нульовий розвязок . Якщо , то система (4) має єдиний нульовий розвязок. Якщо , то система (4) має лінійно незалежних ненульових розвязків:

. (5)

Будь-яка лінійна комбінація розвязків

(6)

також є розвязком системи рівнянь (4).

Якщо всі розвязки (5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці

дорівнює (), то система розвязків (5) називається фундаментальною.

Будь-який розвязок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляді лінійної комбінації розвязків (5), які утворюють фундаментальну систему розвязків.

При цьому розвязок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розвязком однорідної системи (4). Загальний розвязок системи (1) є сумою деякого частинного розвязку цієї системи, наприклад базисного розвязку, і загального розвязку однорідної системи рівнянь (4).

Приклад. Розглянемо систему пяти лінійних рівнянь з чотирма невідомими

(7)

Можна переконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюють r = 2. За базисний мінор візьмемо визначник

,

елементи якого входять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при . Отже, базисними невідомими є , вільними невідомими - .

Замість системи (7) можна розвязати систему, утворену з двох перших рівнянь:

(8)

Візьмемо вільні невідомі і , а далі знайдемо базисний розвязок системи рівнянь (7): .

Вважаючи х3 і х4 довільними змінними, із системи рівнянь

знайдемо розвязки

Нехай , де С1, С2 - довільні сталі. Тоді загальний розвязок

Запишемо однорідну систему рівнянь

(9)

Вона має лінійно незалежні розвязки:

які утворюють фундаментальну систему розвязків системи (5).

Отже, система рівнянь (7) має загальний розвязок

де С1, С2 - довільні сталі.

Загальний розвязок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді.