Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где - непустое множество, - (возможно пустое) множество операций на .

Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .

Определение 1.3. [1] Если и - алгебры сигнатуры , то отображение называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции и любых элементов выполняется равенство:

Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Теорема 1.1. [1] Пусть - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество

является конгруэнцией на алгебре и называется ядром гомоморфизма

Теорема 1.2. [1] Пусть - гомоморфное наложение, тогда .

Теорема 1.3. [1] Пусть - конгруэнции на алгебре и , тогда .

Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.

Многообразие называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из попарно перестановочны.

Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из справедливы тождества

Определение 1.5. [3] Пусть и - факторы алгебры . Тогда они называются:

1) перспективными, если либо и , либо и ;

2) проективными, если в найдутся такие факторы , что для любого факторы и перспективны.

Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в равны.

Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества не пуст, то содержит максимальные элементы.

2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Под термином ``алгебра в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].

Определение 2.1. Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из всегда следует ;

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если , то .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть . Тогда:

существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

;

если , то .

Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .

Лемма 2.2. Пусть - конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

;

, где ;

если, , либо

, либо

, то всегда ;

из всегда следует .

Доказательство. 1). Очевидно, что - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .

2). - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .

3). Пусть . Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим

Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).

4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.

В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).

Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .

Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.

Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на

Доказательство. Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем .

Пусть , т.е. , . Тогда и, значит, .

Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:

Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, .

Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана.

Если и - факторы на алгебре такие, что , то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Напомним, что факторы и на алгебре называются перспективными, если либо и , либо и .

Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.

Теорема 2.1. Пусть - конгруэнции на алгебре . Тогда:

если , то ;

если , то ;

;

если , и факторы , перспективны, то

если - конгруэнции на и , то

Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то .

2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что .

Пусть - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно, .

3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:

Покажем вначале, что

Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то ;

б) для любого элемента , ;

в) если и , то .

Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:

Очевидно, что (, и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует .

Пусть

Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если , то , значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то , следовательно, .

Пусть имеет место (3) и . Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .

4) Обозначим . Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.

Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.