5. Семейства решений с постоянной четной частью

Рассмотрим систему

(5.1)

Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение

.

Возьмем отражающую функцию системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:

(5.2)

Если четная часть будет представлена константой, то

. (5.3)

Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем:

.

Воспользуемся соотношением (1.4)

(5.4)

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема: Если система вида (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество

(5.4)