Символ "О" - асимптотический анализ

дипломная работа

§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: действительного переменного

Пример 1.

Рассмотрим уравнение

x +th x = u,

где u - действительный параметр, - гиперболический тангенс [6], , х и th x - непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.

Найдем асимптотические приближения для корня:

1). Функция u(x) = x +th x непрерывна и строго монотонна на R. По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х(и), непрерывная и строго монотонная на Еи = R.

Так как при х и(х), то при и х(и).

Пусть и, тогда х и .

Значит, х(и) ~ и, при и. Это первое асимптотическое приближение для корня.

2). Приведем уравнение к виду:

x = и - th x.

+С, где С - некоторая константа. По определению символа О thx = 1+O(1).

x = и - 1 + О(1) - это второе асимптотическое приближение корня.

3). Докажем, что е-2х = О(е-2и): (2.1.1)

подставим второе асимптотическое приближение корня

е-2х = е-2(и - 1 + О(1)) = е-2и е2 еО(1) = (по 1.2.3 и 1.2.9) = е2 О(е-2и) (1 + О(1))=

(по 1.2.3) = е2 О(е-2и) (2О(1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О(е-2и).

Разложим th x в ряд [6], удобный при больших х:

th x = 1 - 2е-2х + 2е-4х - 2е-6х +… (х > 0)

Тогда по теореме [3]: (2.1.2)

если ряд сходится при , тогда для фиксированного n в любом круге , где .

Ряд - 2е-2х + 2е-4х - 2е-6х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x - 1. Значит, по теореме: th x - 1 = О(е-2х), т.е.
th x=О(е-2х)+1.

Тогда x = и - th x = и - 1 + О(е-2х) = (по 2.1.1) = и - 1 + О(О(е-2и)) =

(по 1.2.5) = и - 1 + О(е-2и).

Таким образом, x = и - 1 + О(е-2и) - этот третье асимптотическое приближение корня.

4). Докажем, что е-2х = е-2и+2 + О(е-4и): (2.1.3)

подставим третье асимптотическое приближение корня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 и 1.2.4) .

Ряд 2е-4х - 2е-6х + 2е-8х - 2е-10х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x - 1 + 2е-2х. Значит, по теореме: th x - 1 + 2е-2х = О(е-4х),
т.е. th x=О(е-4х)+1 - 2е-2х.

Тогда x = и - th x = и - 1 + 2е-2х + О(е-4х) = (по 2.1.3) =

= и - 1 + 2(е-2и+2 + О(е-4и)) + О(е-4х) = (по 1.2.6) =

= и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-2х е-2х) = (по 2.1.1) =

= и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-2и) О(е-2и)) = (по 1.2.4) =

= и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-4и)) = (по 1.2.5) =

= и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-4и) = и - 1 + 2е-2и+2 + 2О(е-4и) = (по 1.2.6) =

= и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и).

Таким образом, x = и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:

1) х = 5;

2) х = и - 1 + О(1) = 5 - 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))

3) x = и - 1 + О(е-2и) = 5 - 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е-2и))

4) x = и - 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) = 5 - 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е-4и))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

,

где n - целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n при (n > ).

Если x > 1, то [6]

1). По теореме (2.1.2) .

.

2).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

3).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

И так далее.

Делись добром ;)