§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда

При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:

где

В_k - числа Бернулли, В_m({x}) - многочлен Бернулли.

В_k = (-1)^k _2k. [6]

. Коэффициенты _k вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:

путем приравнивая коэффициентов:

коэффициент при х: ₀ = 1,

коэффициент при х^k:

Пример 1. Найти .

По 1.2.10 Н_k = ln k + O(1). Тогда .

Применим формулу суммирования Эйлера:

.

Пример 2. Найти

Применим формулу суммирования Эйлера:

Пример 3. Найти асимптотику при n суммы

Члены этой суммы быстро растут с ростом номера, так что главный член асимптотики равен последнему члену суммы: S(n) ~ n!, n . Действительно,

Следовательно,