4). Нахождение по пи-алгоритму Рота единичного покрытия;

5). Построение контролирующего теста;

6). Проверка логической схемы контролирующим тестом.

1. НАХОЖДЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО ПОКРЫТИЯ

В первую очередь необходимо найти минимальное в смысле Кванта покрытие. Минимальное покрытие булевой функции ищется в два этапа:

1).получение минимального множества Z простых импликант;

2).выделение L-экстремалей на множестве Z.

Для выполнения этих этапов используются операции *-произведения, #-вычитания кубов.

При выполнении операции *-произведения одного куба на другой получается новый куб, противоположные грани которого лежат в исходных кубах. Этот новый куб может стать простой импликантой исходного покрытия. Надо иметь в виду, что куб является простой импликантой исходного покрытия, если он не составляет грань никакого другого комплекса К или того куба, который получился при произведении в процессе нахождения простых импликант. Это означает, что простые импликанты при *-произведении не дают новых кубов, не входящих в предыдущие кубы.

При нахождении простых импликант выполняются все попарные произведения с учетом того, что произведение куба самого на себя приводит к кубу, участвующему в произведении; что произведение первого куба на второй равно произведению второго куба на первый.

Операция *-произведения двух кубов а=а₁а₂…а_i…a_n и b=b₁b₂…b_i…b_n определяется на основе табл. 2.

Таблица 2

Если значение Y получается только в одной координате, то произведение кубов a и b дает так называемый вновь образованный куб, в котором величина Y заменяется на X. Если же имеется более одной координаты Y, то звездчатое произведение дает 0.

Процесс нахождения множества простых импликант является циклическим. В каждом цикле вначале удаляются те кубы исходного покрытия, которые являются гранями других кубов этого покрытия. Далее удаляются кубы исходного покрытия, являющиеся гранями кубов покрытия. Должны быть удалены полученные при *-произведении кубы, являющиеся гранями кубов покрытия. И наконец, удаляются полученные кубы с размерностью, на единицу меньшей номера цикла. Оставшиеся в таблице кубы передаются на следующий цикл *-произведения. Циклы выполняются до тех пор, пока перестанут появляться вновь образованные кубы. Процесс нахождения множества простых импликант для 35-го варианта приведен в табл. 3,4,5,6. Куб «с» не используется при нахождении данного множества, т.к. он входит в куб «b».

1 цикл нахождения множества простых импликант Таблица 3

2 цикл нахождения множества простых импликант Таблица 4

3 цикл нахождения множества простых импликант Таблица 5

4 цикл нахождения множества простых импликант Таблица 6

В таблицах 3, 4, 5 и 6 опущены те *-произведения, которые были рассмотрены раньше. Множество простых импликант Z выглядит следующим образом:

Z={ 1X1XX11, XX1X1X0, 00X0XX0, 0X00101, 000010X, X0X00X0, XX1111X, X010XX0, 101XX1X,1X1X11X }.

Стоимость данного покрытия составляет 53, что на 5 больше стоимости исходного покрытия.

После нахождения множества Z в нем необходимо выделить такое подмножество, которое покрывало бы все вершины из комплекса L и имело бы минимальную стоимость по Квайну. В основе лежит понятие L-экстремали, то есть куба Z_i, содержащего в себе одну или несколько вершин из комплекса L (L=C), которой нет ни в одной другой простой импликанте из множества Z.

Куб Z_i является L-экстремалью, если для него выполняется следующее соотношение:

[ Z_i # ( Z - Z_i)] L ,

где # - знак операции вычитания кубов.

Операция вычитания, например, из куба а куба b служит для удаления их общей части, т.е. их пересечения, из куба а. Эта операция определяется следующим образом:

Координатное вычитание кубов ( a_{i #} b_i ) Таблица 7

Операция вычитания из куба а куба b определяется следующим образом:

a, при наличии Y,

a # b = , если a_i # b_i = Z,

( a₁a₂…a_i-1ia_i+1…a_n),

где _i = 0 или 1, объединение берется по всем таким _i.

Процесс выделения L-экстремали является циклическим, на каждом цикле очередная простая импликанта вычитается из предыдущей разности. Процессы вычитания и пересечения для полученных выше простых импликант отражены в табл. 8.

Выделение L-экстремалей Таблица 8

Полученное минимальное покрытие:

1X1XX11

XX1X1X0

00X0XX0

0X00101

X0X00X0

XX1111X

101XX1X

Cтоимость полученного покрытия равна 36 ( стоимость исходного покрытия равна 53 ).

ПОСТРОЕНИЕ ФАКТОРИЗОВАННОГО ПОКРЫТИЯ

Покрытие, полученное на основе простых импликант и выделения из них L-экстремалей, принято называть минимальным. Однако практика показывает, что дополнительная минимизация возможна при помощи факторизации. Таким образом, минимальным следует считать факторизованное покрытие, а не множество L-экстремалей.

Факторизация покрытия основана на операции -произведения, которая предназначена для выделения общей части двух кубов. Эта операция является поразрядной:

0 при a_i = b_i = 0, i = 1,n;

a_i b_i = 1 при a_i = b_i = 1, i = 1,n;

во всех остальных случаях.

Символ указывает координату исходных кубов, которая различна в них, либо есть Х.

Куб, в котором хотя бы одна координата является , называется -кубом и обозначается через е. Такой куб может участвовать в -произведении, тогда при умножении на координату должна получаться координата .

Стоимость для -куба определяется путем подсчета числа координат со значениями 0 и 1. Куб с наибольшей стоимостью считается максимальным. Если стоимость равна 0, то -куб считается пустым, он равен . Покрытие с учетом -куба записывается в несколько измененном виде: под -кубом фиксируются соответствующие ему кубы с сохранением тех координат, которые расположены под символами .

Алгоритм факторизации покрытия является циклическим. Количество циклов равно числу уровней разложения покрытия ( числу -кубов ). В разложенном по многим уровням покрытии выделяются на i-м цикле -куб еⁱ, M_i ( множество кубов с прочерками, соответствующее еⁱ ), C_i (множество кубов, которые будут рассматриваться на ( i+1)-м цикле).

Алгоритм факторизации можно сформулировать следующим образом:

Вычисляются -произведения всех пар из С_i-1. В первом цикле С₀ = Е. Во втором цикле дело надо иметь с С₁, в третьем - с С₂ и т.д.

Выбирается -куб с наибольшей стоимостью еⁱ. Если несколько кубов имеют одинаковую стоимость, то выбирается первый.

Покрытие оформляется разложенным на две части: нижнюю часть М_i и верхнюю часть С_i. C_i содержит оставшиеся от С_i-1 кубы после удаления из него кубов М_i и добавленный куб еⁱ. Видимо,

C_i = ( C_i-1 - M_i ) eⁱ.

Если С_i состоит из одного куба или получаются пустые -кубы, процесс факторизации следует закончить, в противном случае перейти к пункту 1.

Процесс факторизации по данному алгоритму удобно отражать в таблицах. Первый цикл представлен в табл. 9.

Первый цикл факторизации Таблица 9

Из этой таблицы видно, что е¹ = 111.. Покрытие после первого цикла выглядит следующим образом:

Так как С₁ содержит больше одного куба, осуществляется переход ко второму циклу ( табл. 10 ).

Второй цикл факторизации Таблица 10

Очевидно, что е² = 000.

Покрытие после второго цикла факторизации выглядит следующим образом:

Так как С₂ содержит больше одного куба, осуществляется переход к третьему циклу ( табл. 11 ).

Третий цикл факторизации Таблица 11

Из таблицы 11 видно, что е³ = 11.

Покрытие после третьего цикла выглядит так:

Так как С₃ содержит больше одного куба переходим к четвертому циклу (табл. 12).

Таблица 12

Четвертый цикл факторизации

Ясно, что е⁴ = 1.

Факторизованное покрытие выглядит следующим образом:

Чтобы определить стоимость факторизованного покрытия, нужен соответствующий алгоритм. Его сущность можно изложить следующим образом:

определить стоимость рассматриваемого куба покрытия;

если куб является маскирующим (-куб), то добавить к стоимости 2;

если куб является обычным, то при S_i > 1 добавить к стоимости 1, в противном случае ( S_i = 1 ) добавлять 1 не нужно;

полученные стоимости кубов с добавлениями сложить.

В полученном выше факторизованном покрытии 11 кубов, его стоимость составляет 30. До факторизации стоимость покрытия составляла 36.

СОСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ ДАННОГО БАЗИСА ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

По любому кубическому покрытию можно построить логическую схему. По факторизованному покрытию схема строится следующим образом. Обычные кубы отражаются на схеме как элементы & с числом входов, равным стоимости куба. Прочеркнутые координаты на вход этих элементов не подаются. Они учитываются в маскирующих кубах в качестве общих сомножителей. Выходные сигналы обычных кубов, расположенных под рассматриваемым -кубом, суммируются, затем логическая сумма этих кубов подается на вход маскирующего куба, который отображается на схеме как элемент &. Логическая схема в булевом базисе, построенная по факторизованному покрытию, показана на рис.1.

Стоимость кубов М₁ и М₂,а также куба ХХ-Х1Х-, входящего в М₃, равна 1. Поэтому соответствующие им переменные подаются непосредственно на входы элементов ИЛИ (12, 11 и 10 соответственно). Умножение на координаты куба е¹ производится в элементе 15, на координаты куба е² - в элементе 14, на координаты куба е³ - в элементе 13. Кубы е³ и е⁴ имеют общую пятую координату. Поэтому выходной сигнал элемента 13, соответствующего е³, логически суммируется с выходным сигналом элемента 8, а затем логическая сумма поступает на вход элемента 16, где происходит умножение на координаты куба е⁴.

Стоимость данной логической схемы равна 30, такова стоимость и факторизованного покрытия. Таким образом, можно сделать предварительное заключение о соответствии составленной схемы факторизованному покрытию.

Рис. 1

Дальше необходимо составить схему в универсальном базисе элементов, который в настоящее время широко применяется. Универсальный базис элементов - это система элементов, реализующая функцию И-НЕ или ИЛИ-НЕ.

Логическую схему на основе заданного универсального базиса легче всего построить по логической схеме на элементах булевого базиса элементов. Для этого нужно воспользоваться соответствием между элементами булевого базиса и заданного универсального базиса ( табл. 13 ). В данном случае используется базис ИЛИ-НЕ.

Таблица 13

Заменяя элементы, не следует стремиться к полной замене. Если производить замену формально ( один к одному ), то в связи между элементами окажется два последовательно включенных инвертора, что равносильно их отсутствию.

Логическая схема на основе элементов базиса ИЛИ-НЕ показана на рис.2.

функция покрытие логический кубический

Рис. 2