Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)
В этом и следующем параграфах будет решено линейное одно-родное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n, т. е. уравнение
(1)
где z есть неизвестная функция независимого переменного t, а коэффициенты суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этого уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты действительны) из них будут выделены действительные решения. Уравнение (1) можно записать в виде:
(2)
так что к нему применима теорема существования и единственности. В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все решения.
В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t, от произвольной функции обозначается не через , а через , так что буква р, стоящая слева от функции, является символом дифференцирования по t. Если позволить себе применить к символу дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к обозначению
Пользуясь этим обозначением, мы можем написать
Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе вынести за скобку функцию z, то мы получаем равенство
Таким образом, мы приходим к формальному определению.
А) Пусть
- произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z -- некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного t. Положим:
(3)
Если и суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования р), а -- функции переменного t, то, как легко видеть, мы имеем тождества
В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в виде:
(4)
где
Б) Пусть -- произвольный многочлен относительно символа р. Тогда
(5)
Докажем формулу (5). Мы имеем
Из этого следует, что . Отсюда формула (5) вытекает непосредственно (см. (3)).
Из формулы (5) следует, что функция тогда и только тогда является решением уравнения (4), когда число есть корень многочлена . Многочлен называется характеристическим многочленом уравнения (4). В том случае, когда он не имеет кратных корней, совокупность всех решений уравнения (4) описывается следующей теоремой.
Теорема 4. Предположим, что характеристический многочлен уравнения
(6)
(см. (1) и (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через
Положим:
(7)
Тогда при любых комплексных постоянных функция
(8)
является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнении (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант . При этом константы (называемые постоянными интегрирования) однозначно определяются для каждого данного решения z.
Заметим, что функции (7) определены на всей числовой прямой .
Примеры
1. Найдем все комплексные решения уравнения
Его можно записать в виде (6), где
Непосредственно проверяется, что р = - 1 есть корень характеристического многочлена L(р). Разделив L(р) на р+1, получаем:
откуда находим еще два корня . Таким образом, корнями многочлена L(р) являются числа
В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения имеет вид:
2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям
(9)
и положим:
где - действительные функции. Будем, далее, считать, что числа удовлетворяют условиям
(10)
и положим:
где -- действительные числа. При этих обозначениях общее действительное решение уравнения (6) записывается в виде:
где
суть произвольные действительные числа.