Система линейных уравнений

контрольная работа

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

……………………

am1 am2 … amn

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a11 a12 … a1n b1

B = a21 a22 … a2n b2

……………………… …… (13)

am1 am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c1, c2,..., сп - некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

. ……………………………………

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz,..., сп -- решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn;

b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn;

. …………………………………

bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn

где c1, c2,..., сп -- коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x1 = c1,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера - Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7;

2x1 + x2 - 4x3 - 2x4 = 1;

x1 - 3x2 + 6x3 - 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера - Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера - Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a1x + b1y = c1,

a2x + b2y = c2. (13)

Основная матрица этой системы

a1 b1

a2 b2

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a1 b1 с1

a2 b2 с2

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

Если r = 0, R = 1, т.е. a1 = a2 = b1 = b2 = 0 и c + c ? 0, то система (13) не имеет решений.

Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

Если система (13) не имеет решений, то r ? R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ? 0, a + b ? 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a1x + b1y - c1 = 0,

a2x + b2y - c2 = 0, (14)

где a + b ? 0, a + b ? 0.

Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0.

a2 b2 c2 b2 a2 c2

Эти условия можно переписать так:

a1b2 = b1a2, (15)

c1b2 = b1c2, (16)

a1c2 = c1a2. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а1 = 0, то b1 ? 0, так как a1 + b1 ? 0. Тогда из (15) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ? 0, то b2 ? 0. Тогда из (16) находим, что c1/b1 = c2/b2 = б и при этом уравнения прямых примут вид

b1(y - б) = 0, b2(y - б) = 0. Поскольку b1 ? 0, b2 ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y - б = 0.

б) Если b1 = 0, то а1 ? 0, а из (15) тогда следует, что b2 = 0(причем

а2 ? 0). Тогда из (17) имеем c1/a1 = c2/a2 = в, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x - в) = 0, а2(x - в) = 0. Поскольку

а1 ? 0, а2 ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x - в = 0.

в) Если а1 ? 0 и b1 ? 0, то из (15) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = г, а из (16) и (17) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что

а2 = га1, b2 = гb1, c2 = гc1, и поэтому уравнения прямых примут вид

a1x + b1y - c1 = 0, г(a1x + b1y - c1)= 0. Поскольку г ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Делись добром ;)