Система счисления. Запись действий над числами

контрольная работа

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления - это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х2= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n(степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2n

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

Пример: Число 111010002 перевести в десятичную систему счисления:

111010002= 1·27 + 1·26 + 1·25 +0·24 + 1·23+0·22+0·21+0·20=23210

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х8= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

n(степень)

0

1

2

3

4

5

6

8n

1

8

64

512

4096

32768

262144

Пример: Число 750138 перевести в десятичную систему счисления:

750138= 7·84 + 5·83+ 0·82 +1·81 + 3·80=3124310

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х16= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

n(степень)

0

1

2

3

4

5

6

16n

1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

Пример: Число FDA116 перевести в десятичную систему счисления:

FDA116= 15·163 + 13·162 + 10·161 +1·160=6492910

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления:

2210=101102

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число57110 перевести в восьмеричную систему счисления.

57110=10738

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

746710=1D2B16

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

2-ная

000

001

010

011

100

101

110

111

8-ная

0

1

2

3

4

5

6

7

Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:

2-ная

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

16-ная

0

1

2

3

4

5

6

7

2-ная

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

16-ная

8

9

A

B

C

D

E

F

Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 0010 1110 00112=2E316

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления: 5318=101 011 0012

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ816=1110111010002

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528

Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16

Таблица соответствия натуральных чисел

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

001

1

1

2

010

2

2

3

011

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

Делись добром ;)