Система счисления. Запись действий над числами
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее часто встречающиеся системы счисления - это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х2= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
n(степень) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
2n |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
Пример: Число 111010002 перевести в десятичную систему счисления:
111010002= 1·27 + 1·26 + 1·25 +0·24 + 1·23+0·22+0·21+0·20=23210
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х8= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
n(степень) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
8n |
1 |
8 |
64 |
512 |
4096 |
32768 |
262144 |
Пример: Число 750138 перевести в десятичную систему счисления:
750138= 7·84 + 5·83+ 0·82 +1·81 + 3·80=3124310
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х16= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
n(степень) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
16n |
1 |
16 |
256 |
4096 |
65536 |
1048576 |
16777216 |
Пример: Число FDA116 перевести в десятичную систему счисления:
FDA116= 15·163 + 13·162 + 10·161 +1·160=6492910
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления:
2210=101102
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число57110 перевести в восьмеричную систему счисления.
57110=10738
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
746710=1D2B16
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:
2-ная |
000 |
001 |
010 |
011 |
100 |
101 |
110 |
111 |
|
8-ная |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:
2-ная |
0000 |
0001 |
0010 |
0011 |
0100 |
0101 |
0110 |
0111 |
|
16-ная |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2-ная |
1000 |
1001 |
1010 |
1011 |
1100 |
1101 |
1110 |
1111 |
|
16-ная |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 0010 1110 00112=2E316
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления: 5318=101 011 0012
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:
ЕЕ816=1110111010002
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:
FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528
Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Таблица соответствия натуральных чисел
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
1 |
001 |
1 |
1 |
|
2 |
010 |
2 |
2 |
|
3 |
011 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
|
16 |
10000 |
20 |
10 |