Систематизация применения фрактала в моделировании

курсовая работа

3.2 Снежинки и кривая Коха

Кривая Коха

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции. Рассмотрим в качестве нулевой итерации прямую .

Затем прямую разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так. как изображено на рис.На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная,, бесконечно изломанная кривая которая представляет собой самоподобное множество, называемое кривой Коха. Она была так названа в честь шведского математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом.

Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в качестве
длины прямой l = 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждой длины1/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или
и т. д.От сюда следует что фрактальная размерность равна

Эта величина больше единицы (топологической размерности линии, Dt=1), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2, на которой расположена кривая следовательно теперь можно, используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

Снежинки Коха

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции. Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний треугольник.

Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Она была так названа в честь шведского математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом.

Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в качестве длины стороны исходного треугольника l = 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждой длины 1/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или и т. д. От сюда следует, что фрактальная размерность равна

Эта величина больше единицы (топологической размерности линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2, на которой расположена кривая. Обратим внимание на то, что кривая, получаемая в результате n-й итерации при любом конечном n, называется предфракталом, и лишь при n, стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фракталом. Таким образом, снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

Делись добром ;)