Систематичний відбір
1.11 Приклади розвязування задач
Приклад 1. У таблиці 1.11.1 наведена кількість саджанців на кожному футі довжини гряди, загальною довжиною у 200 футів.
Знайти дисперсію середнього систематичної вибірки, що включає кожний двадцятий фут гряди. Порівняти її з дисперсією простої випадкової вибірки. Для всіх вибірок .
Таблиця 1.11.1 Число саджанців
Фути довжини гряди |
Підсумки систематичних вибірок |
|||||||||||
1-20 |
21-40 |
41-60 |
61-80 |
81-100 |
101-120 |
121-140 |
141-160 |
161-180 |
181-200 |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|||
8 6 6 23 25 16 28 21 22 18 26 28 11 16 7 22 44 26 31 26 |
20 19 25 11 31 26 29 19 17 28 16 9 22 26 17 39 21 14 40 30 |
26 26 10 41 30 55 34 56 39 41 27 20 25 39 24 25 18 44 55 39 |
34 21 27 25 32 43 33 45 23 27 37 14 14 24 18 17 14 38 36 29 |
31 23 41 18 15 21 8 22 11 3 4 5 11 9 25 16 13 22 18 9 |
24 19 28 18 29 24 33 37 32 26 36 20 43 27 20 21 18 19 24 30 |
18 13 7 9 11 20 16 9 14 15 20 21 15 14 13 9 25 17 7 30 |
16 12 8 10 12 20 17 12 7 17 21 26 16 18 11 19 27 29 31 29 |
36 8 29 33 14 13 18 20 13 24 29 18 16 20 6 15 4 8 8 10 |
10 35 7 9 12 7 6 14 12 15 18 4 4 9 8 8 9 10 5 3 |
223 182 188 197 211 245 222 255 190 214 234 165 177 202 149 191 193 227 225 235 |
||
Підсумки для страт |
410 |
459 |
674 |
554 |
325 |
528 |
303 |
358 |
342 |
205 |
4155 |
Розвязання.
а) Систематична вибірка:
Дисперсія середнього систематичної вибірки дорівнює .
б) Проста випадкова вибірка:
Дисперсія простої випадкової вибірки дорівнює .
Відповідь: . Дисперсія середнього систематичної вибірки краща ніж дисперсія простої випадкової вибірки.
Приклад 2. Популяція, що складається з 360 домогосподарств (які перенумеровані від 1 до 360), розміщена в картотеці у алфавітному порядку за прізвищами головних членів господарств. Домогосподарства, де голова сімї небілий, мають наступні номери: 28, 31-33, 36-41, 44, 45, 47, 55, 56, 58, 68, 69, 82, 83, 85, 86, 89-94, 98, 99, 101, 107-110, 114, 154, 156, 178, 223, 224, 296, 298-300, 302-304, 306-323, 325-331, 333, 335-339, 341, 342. (Серед небілих іноді зустрічаються «скупчення» домогосподарств через звязок між прізвищем та кольором шкіри).
Порівняйте точність систематичної вибірки кожного восьмого домогосподарства з простою випадковою вибіркою того ж обсягу при оцінюванні частки домогосподарств, у яких головний член сімї небілий.
Розвязання.
Будемо позначати домогосподарство, де голова сімї небілий як 1 і відповідно де голова білий - 0. Тоді запишемо всі систематичні вибірки кожного восьмого домогосподарства у таблицю 1.11.2:
Таблиця 1.11.2 Дані по 8-ми систематичним вибіркам
Номер систематичної вибірки (=8) |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0,2222 |
0,2667 |
0,1556 |
0,2667 |
0,2667 |
0,2222 |
0,2444 |
0,1556 |
||
10 |
12 |
7 |
12 |
12 |
10 |
11 |
7 |
а) Систематична вибірка
Середнє значення систематичної вибірки має розподіл
~
Дисперсія середнього систематичної вибірки дорівнює .
б) Проста випадкова вибірка
Частка домогосподарств, де головний член сімї не білий дорівнює
Для простої випадкової вибірки дисперсія вибіркової частки має вигляд:
,
де , . Підставляємо і отримаємо:
.
Дисперсія простої випадкової вибірки при оцінюванні частки домогосподарств з небілим головним членом сімї дорівнює .
Відповідь: . Дисперсія систематичної вибірки точніша за дисперсію простої випадкової вибірки при оцінюванні частки домогосподарств, де головний член сімї небілий.
Приклад 3. Є наступний список мешканців 13-ти будинків деякої вулиці. М - дорослий чоловік, Ж - доросла жінка, м - хлопчик, ж - дівчинка.
Сімї
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
М |
|
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
Ж |
|
ж |
ж |
м |
м |
ж |
ж |
м |
м |
м |
ж |
ж |
|||
м |
м |
ж |
м |
м |
ж |
ж |
ж |
м |
|||||
ж |
ж |
ж |
м |
Порівняйте дисперсії для систематичної вибірки кожної пятої людини та 20%-вої простої випадкової вибірки при оцінюванні: (а)частки людей чоловічої статі, (б) частки дітей. У випадку систематичної вибірки ведіть відлік у кожному стовбці зверху вниз і далі з верху наступного стовпця.
Розвязання.
Запишемо всі систематичні вибірки кожної пятої людини:
1. М М М Ж ж М М Ж ж М
2. Ж Ж Ж М М Ж Ж м М Ж
3. ж ж м Ж Ж ж м М Ж ж
4. м м ж м ж ж ж Ж ж М
5. ж ж М м м м М м м Ж
а) Оцінювання частки людей чоловічої статі
· Систематична вибірка кожної пятої людини
Тоді розподіл середнього має вигляд:
.
Дисперсія середнього систематичної вибірки дорівнює .
· 20%-ва проста випадкова вибірка
Якщо , тоді . Частка людей чоловічої статі дорівнює
Тоді дисперсія вибіркової частки простої випадкової вибірки дорівнює
Дисперсія простої випадкової вибірки при оцінюванні частки людей чоловічої статі дорівнює .
б) Оцінювання частки дітей
· Систематична вибірка кожної пятої людини
Тоді розподіл середнього має вигляд:
.
Дисперсія середнього систематичної вибірки дорівнює .
· 20%-ва проста випадкова вибірка
Якщо , тоді . Частка дітей дорівнює
Тоді дисперсія вибіркової частки простої випадкової вибірки дорівнює
Дисперсія простої випадкової вибірки при оцінюванні частки дітей дорівнює .
Відповідь: а) При оцінюванні частки людей чоловічої статі отримали, що . Дисперсія систематичної вибірки точніша за дисперсію 20%-ї простої випадкової вибірки. Але можна помітити, що вони майже рівні. б) При оцінюванні частки дітей отримали, що . В цьому випадку дисперсія 20%-ї простої випадкової вибірки є кращою ніж дисперсія систематичної вибірки.
РОЗДІЛ ІІ. ПОРІВНЯННЯ СИСТЕМАТИЧНОГО ВІДБОРУ, ПРОСТОГО ВИПАДКОВОГО ТА СТРАТИФІКОВАНОГО ВІДБОРІВ