Системы линейных неравенств

курсовая работа

3.2 Существование и способ построения фундаментального набора решений

Рассмотрим произвольную систему однородных линейных неравенств. Для первого неравенства можно построить фундаментальный набор решений. Присоединив к первому неравенству второе можно построить фундаментальный набор решений для системы, состоящей из двух первых неравенств. Далее присоединяем третье неравенство и т.д., пока не получим фундаментальный набор решений для всей исходной системы неравенств. Этим доказано существование и одновременно показан способ построения фундаментального набора решений.

Разумеется, если в данной системе неравенств имеется подсистема, для которой сразу можно найти фундаментальный набор решений, то в качестве исходного пункта следует взять эту подсистему; присоединяя к ней последовательно остальные неравенства, после ряда шагов можно построить искомый фундаментальный набор решений.

Рассмотрим пример. Для системы:

(16)

Требуется найти все неотрицательные решения, т.е. все решения, удовлетворяющие условиям:

(17)

Нетрудно видеть, что для системы (17) фундаментальным набором решений будет являться набор из точек:

Присоединим к системе(17) первое неравенство (16) и для полученной таким образом системы получим фундаментальный набор решений. Для удобства вычислений составим таблицу:

L1(X)

X1

1

0

0

0

-3

X2

0

1

0

0

-4

X3

0

0

1

0

5

X4

0

0

0

1

-6

В каждой строке таблицы указана одна из фундаментальных точек системы (17), а также значение точки L1(X) для этой точки. Находим точки типа

.

Точку X3 обозначим Y3. Точки Y3, Y1, Y2, Y4 образуют фундаментальный набор решений для системы, состоящей из (17) и первого неравенства (16).

Присоединяем к этой системе второе неравенство из (16) и получаем:

L2(Y)

Y1

0

0

1

0

-3

Y2

5

0

3

0

1

Y3

0

5

4

0

3

Y4

0

0

6

5

-13

Находим точки типа :

Все эти точки образуют фундаментальный набор решений систем (16), (17).

Общее решение имеет вид:

Делись добром ;)