Волновое уравнение в математике

реферат

2. Задача Коши. Двумерное волновое уравнение

Решим задачу Коши для уравнения

(1)

с начальными условиями

(2)

Идея решения (метод спуска) очень проста: введём дополнительную переменную x3 и решим задачу Коши для трёхмерного волнового уравнения , но с начальными условиями (2), не зависящими от x3. Тогда решение u (t,x1,x2,x3) фактически не будет зависеть от x3 поскольку функция uz (t,x1,x2,x3) = u (t1,x1,x2,x3+z) является решением того же уравнения и при любом z и удовлетворяет тем же начальным условиям (2); следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши для трёхмерного волнового уравнения uz не зависит от z, т.е. u не зависит от x3. Таким образом, решение задачи Коши (1) существует. Оно единственно просто по теореме единственности, относящейся к трёхмерному случаю, так как решение задачи (1) - (2) можно рассматривать и как решение трёхмерной задачи Коши.

Теперь запишем u (t,x1,x2) по формуле Кирхгофа. Имеем:

(3)

Преобразуем второе слагаемое в формуле (3), которое мы обозначим и

(4)

Рассмотрим сферу в пространстве по которой происходит интегрирование в (4). Это сфера с центром в точке x и с радиусом at (см. рис. 1). Мы должны проинтегрировать по сфере функцию, не зависящую от y3 Фактически это означает, что мы дважды интегрируем по проекции сферы на плоскость y3=0.

Пусть dy1 d y2 - мера Лебега на этой плоскости, dSat - элемент площади сферы в точке у, проектирующийся в элемент площади dy1 d y2. Ясно, что dy1 d y2=|cos б (y) | dSat, где б (y) - угол между нормалью к сфере и осью y3. Но нормаль к сфере пропорциональна вектору y-x= (y1-x1, y2-x2, y3) имеющему длину at. Будем интегрировать по верхней половине сферы и затем удвоим результат.

Рис. 1

Тогда из условия |y-x|=at следует, что

Поэтому формулу (4) можно переписать в виде

Решение задачи Коши (1) - (2) задается формулой Пуассона

(5)

Из формулы Пуассона видно, что значение решения u (t,x) в точке x: при n=2 зависит от начальных данных ц (y),?? (x) в круге {y: |y-x|, а не только вблизи его границы. В частности, если ??,ц сосредоточены вблизи точки О, то решение в какой-либо окрестности точки x будет отлично от нуля всё время, начиная с некоторого момента. Таким образом, локализованное возмущение уже не видно как локализованное из другой точки, т.е. волна не проходит бесследно, а оставляет последействие. Иными словами, принцип Гюйгенса при n=2 не имеет места. Найдем ещё фундаментальное решение для двумерного волнового оператора. Аналогично трёхмерному случаю надо решить задачу Коши с начальными данными

Но из формулы Пуассона ясно, что такое решение 2 (t,x) имеет вид

(6)

где и (t) - функция Хевисайда.

Легко непосредственно проверить теперь, что функция 2 (t,x) локально интегрируема и является фундаментальным решением двумерного волнового оператора. Последнее проверяется так же, как в трёхмерном случае и мы оставляем это читателю в качестве упражнения. Наконец, из формулы Даламбера ясно, что фундаментальное решение для одномерного волнового оператора имеет вид

Делись добром ;)