1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2;

……………………………………

am1x1+ am2x2 + …+ amnxn = bm;

где х1, х2, …, хn - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. В общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i = 1, 2,., m; j = 1, 2,.,n) и свободные члены bi (i=1, 2,.,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел б1, б2, бn, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения.