Системы линейных уравнений

курсовая работа

1.2.3 Метод Гаусса

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную.

С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы, а также перемены местами столбцов, что отвечает перепозначенню переменной, матрица сводится к ступенчатой (или трапециевидной) форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Это прямой ход метода Гаусса. Решение полученной системы осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусcа).

Более детально этот процесс выглядит так: матрица в результате элементарных преобразований принимает такой вид:

.

Тогда возможны несколько случаев:

1. Хотя б одно с чисел отличное от нуля, тогда і система несовместная.

2. Числа , тогда

а) , система совместная, имеет единственное решение;

б) , система совместная, имеет бесконечное множество решений.

В случае совместимости системы, ставим последней матрице в соответствие систему уравнений вида

Эту систему переписываем, оставляя базисные переменные слева, свободные - справа

Именно эту систему решаем, начиная снизу вверх.

В результате получаем или единственное решение, или множество решений, которые записываются в виде общего решения.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменной. Вычислительная процедура гауссових исключений может быть формализирована с помощью простых правил.

Назовем переменную, которая исключалась, разрешающей, коэффициент при ней - разрешающим элементом, строку и столбец матрицы, в которой размещен разрешающий элемент - разрешающими.

Перечисление элементов расширенной матрицы при выполнении элементарных преобразований выполняется по таким правилам:

1) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

2) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, обращаются в нуль;

3) все другие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразовываемый элемент равняется разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Тут - разрешающий элемент, - преобразуемый элемент. Обозначим - элемент, который получен вычислением по правилу прямоугольника. Тогда

.

Модификацией метода Гаусса является метод полного исключения или метод Жордана - Гаусса.

Метод полного исключения (метод Жордана-Гаусса) заключается в том, что в результате преобразований расширенной матрицы в ней выделяется диагональная подматриця и тогда решение исходной системы выписывается просто.

Метод полного исключения работает за такими правилами:

1) назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при неизвестной, которая исключается;

2) элементы разрешающей строки остаются неизменными;

3) все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются такими до конца преобразований;

4) все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Метод полного исключения может быть использован для обращения матрицы (известен также под названием метод элементарных превращений).

Для данной матрицы го порядка строится прямоугольная матрица размера , к которой применяется преобразование по алгоритму полного исключения, в результате чего матрица сводится к виду , где . Это всегда возможно, если матрица невырожденная.

Делись добром ;)