Волновое уравнение в математике

реферат

4.1 Формула Пуассона

Рассмотрим волновое уравнение

(1)

И будем искать его решение, удовлетворяющее условиям

(2)

Будем предполагать, что ц0 (х, у, z) непрерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а ц1 (х, у, z) - до второго порядка включительно во всем пространстве.

Покажем сначала, что интеграл

(3)

Является решением волнового уравнения (1).

Заметим, что координаты точек сферы Sat могут быть выражены по формулам:

Запишем их в виде:

Где угол меняется от 0 до и угол от 0 до 25 . Когда точки (5 ,5^,5 ) описывает сферу Sat, точка (б,в,г) описывает сферу S1 радиуса, единице, с центром в начале координат.

Приводим интеграл (3) к виду

(4)

Отсюда легко заметить, что функция u (x,y,z,t) имеет непрерывные производные до k-го порядка, если функция ц (5 ,5^,5 ) непрерывна вместе со своими производными k-го порядка.

Из формулы (4) находим

Или, возвращаясь к первоначальной области интегрирования

(5)

Дифференцируя теперь выражение (4) по t, получим

(6)

Вычислим с применением формулы Остроградского и получим

(7)

Где

D-шар радиуса r=at с центром в точке М (x,y,z).

Полагая

Будем иметь

Дифференцируя это выражение по t будем иметь

Нетрудно видеть, что

(8)

В самом деле, переходя в интеграле I к сферическим координатам (с,и,5?) с центром в точке M (x,y,z), имеем

Дифференцируя по t, получим

Сравнивая равенства (5), (7) и (8), мы видим, что функция u (x,y,z,t) удовлетворяет волновому уравнению (1).

Из формул (4) и (6) непосредственно следует, что функция u удовлетворяет начальным условиям

(9)

Если u есть решение волнового уравнения, то легко видеть, что функция

Будет также решением уравнения (1) с начальными данными условиями

(10)

Взяв теперь в случае начальных условий (9) за ц (x,y,z) функцию ц1 (x,y,z), а в случае начальных условий (10) - функцию ц0 (x,y,z) и сложив построенные таким образом решения, получим решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Таким образом, решение волнового уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), запишем в виде

(11)

Это называется формулой Пуассона.

Делись добром ;)