Системы с постоянной четной частью

дипломная работа

1. Четные и нечетные вектор-функции

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию , будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ().

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

и

то

и является четной функцией, а - нечетной.

будем называть четной частью функции , - нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a) - четная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б) - нечетная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если - нечетная функция, то .

Доказательство. Поскольку - нечетная функция, то

Подставив вместо получаем

Откуда следует

Делись добром ;)