Системы с постоянной четной частью

дипломная работа

6.2 Построение систем с заданной четной частью

Рассмотрим систему . Будем строить систему с заданной четной частью.

Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой и преобразуем ее

Следовательно, можем записать

Отсюда зная , получим

где - отражающая функция системы. Исключая из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию

получим требуемую систему.

Пример 16 Пусть

где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

Преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

Для всех систем вида должно быть выполнено условие

Возьмем

Найдем , . ;

Подставим значения , в систему :

Получаем требуемую систему:

Пример 17 Пусть

где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

и преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

Для всех таких систем должно быть выполнено условие .

Возьмем . Найдем , . ,

Подставим найденные значения в систему и сделав преобразования аналогичные примеру , получаем:

Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае

Поэтому, если нам задана, то из соотношения

при заданной мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая из соотношений

Таким образом, мы пришли к

Теорема 18 Всякая система

где находятся из системы

при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям

имеет общее решение с четной частью .

Если

то система имеет вид:

Таким образом, мы пришли к выводу:

Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Заключение

Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.

Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Список использованных источников

Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 - 240 с.

Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 - 232 с.

Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 - 744 с.

Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 - 76 с.

Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 - 331 с.

Делись добром ;)