Системы с постоянной четной частью
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Рассмотрим систему . Будем строить систему с заданной четной частью.
Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой и преобразуем ее
Следовательно, можем записать
Отсюда зная , получим
где - отражающая функция системы. Исключая из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию
получим требуемую систему.
Пример 16 Пусть
где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства
Преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим :
Для всех систем вида должно быть выполнено условие
Возьмем
Найдем , . ;
Подставим значения , в систему :
Получаем требуемую систему:
Пример 17 Пусть
где - заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства
и преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим :
Для всех таких систем должно быть выполнено условие .
Возьмем . Найдем , . ,
Подставим найденные значения в систему и сделав преобразования аналогичные примеру , получаем:
Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае
Поэтому, если нам задана, то из соотношения
при заданной мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая из соотношений
Таким образом, мы пришли к
Теорема 18 Всякая система
где находятся из системы
при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям
имеет общее решение с четной частью .
Если
то система имеет вид:
Таким образом, мы пришли к выводу:
Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Заключение
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.
Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 - 240 с.
Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 - 232 с.
Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 - 744 с.
Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 - 76 с.
Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 - 331 с.