Резольвента как функция от

А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию от и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.

Теорема 5: Пусть Е - банахово пространство, I - тождественный оператор в Е, а А - такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде

.

Доказательство:

Так как <1, то .Пространство Е полно, так что из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем

;

переходя к пределу при и учитывая, что , получаем

,

что и означает, что .

Доказано.

Теорема 7. Если А - ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и >, то - регулярная точка.

Доказательство:

Так как, очевидно, что ,

то

При < этот ряд сходится (см. теорему 5), т.е. оператор имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле.

Доказано.

Из выше доказанной теоремы вытекает разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконечности

При < этот ряд сходится. Но - это наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству:

Аf=Cf, если С - собственное значение, то и , то для наибольшего по модулю из собственных значений неравенство будет иметь место, с другой стороны, это число будет наименьшим. Следовательно, ряд будет сходиться при <(А), где (А) - наибольший модуль собственных значений оператора А. Величина (А) называется спектральным радиусом оператора А.

Теорема 8: (А)=.

Для доказательства воспользуемся теоремой Коши-Адамара, сформулируем её. Теорема Коши-Адамара: Положим , . Рассмотрим степенной ряд . Тогда он сходится всюду в круге и расходится всюду вне этого круга.

Доказательство:

Рассмотрим разложение резольвенты в ряд Лорана как степенной ряд:

.

По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен числу

, но с другой стороны радиус сходимости ряда Лорана резольвенты есть спектральный радиус.

Доказано.

Уравнение Гильберта: .

Доказательство:

Возьмем . Учитывая, что , получаем следующее:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

Следствие из уравнения Гильберта: .

Доказательство:

Оно вытекает из уравнения Гильберта: действительно, возьмём , тогда получим по уравнению Гильберта, что произведение равно отношению приращения функции к приращению аргумента, то есть , перейдя к пределу при получаем нужное равенство.

Доказано.

Теорема 9: .

Доказательство:

Докажем это равенство методом математической индукции, опираясь на предыдущее утверждение:

I. если k=1, то получаем следствие из уравнения Гильберта

.

II. Пусть для k=n равенство выполнено, то есть .

III. Докажем, что для k=n+1, оно тоже имеет место:

Получили, что если равенство выполняется для n, то оно выполняется и для n+1, то по аксиоме индукции оно выполняется и для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Доказано.

Таким образом, мы получили, что резольвента - функция бесконечно дифференцируемая.

Теорема 10: Зная все производные резольвенты, мы можем разложить её в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Напомним формулу разложения функции в ряд Тейлора:

, подставляя в эту формулу соответствующие элементы резольвенты, получаем нужное равенство.