Способы решения функциональных уравнений

курсовая работа

2. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами

Продемонстрировав некоторые возможности применения функциональных уравнений в элементарной математике, перейдем теперь к рассказу об их реальном, хотя и малозаметном присутствии (и уже не один десяток лет!) в школьном курсе математики. Но прежде чем как узнать разделы и понятия школьного курса, под сенью которых скрываются функциональные уравнения, напомним, как в математике определяют это понятие: функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции с известными функциями.

А вот теперь, помня, что бесконечная числовая последовательность - это произвольная вещественнозначная функция с областью определения - множеством натуральных чисел, внимательно присмотримся к определениям бесконечной арифметической и бесконечной геометрической прогрессий.

Бесконечная арифметическая прогрессия определяется как последовательность , удовлетворяющая условию

,

где d - фиксированное действительное число, а n -любое натуральное.

Иначе говоря, бесконечная арифметическая прогрессия в школьном курсе математики определяется как решение следующего функционального уравнения:

. (2.1)

Аналогичная ситуация и с бесконечной геометрической прогрессией. Она определяется в школьном курсе математики как функциональное уравнение вида:

где q - произвольное фиксированное ненулевое действительное число.

Далее, чтобы найти в явном виде выражение для как аналитически заданную функцию от n, обычно решают эти функциональные уравнения по традиционной схеме, реализацию которой продемонстрируем на примере уравнения (1).

1. В начале производят накопление "экспериментальных" данных - находят выражение для f(1), f(2), f(3) и т.д.

2. Затем строят на основе этого "эксперимента" гипотезу, что

f(x)=

где = f(1) - произвольное, но фиксированное число. И, наконец, последний этап.

3. Проверяют справедливость того, что функция f(x) - удовлетворяет условию (1) при любом натуральном x.

И при этом ни слова о функциональных уравнениях!

Далее обычно следует поиск формулы для суммы первых n членов этих последовательностей S(n) (как говорят в математике "в конечном виде"). Для этого в школьных учебниках применяют специальные искусственные методы, а по сути, опять-таки осуществляют поиск решения функционального уравнения так называемого разностного типа

F(x+1) - F(x) = ц(x) (2.2)

где ц(x) - известная функция, D(ц) = N, которому очевидно удовлетворяет функция S(n), если ц(x)-(x+1) -й член суммируемой последовательности.

Стоит напомнить, что уже давно найдены приемы вычисления сумм вида

ц(1)+ц(2)+…+ц(n),

где ц(x) - известная функция, x, т.е. способы решения так называемой основной теории исчисления конечных разностей, в частности давно и без труда получена общая формула, аналогична формуле Ньютона - Лейбница:

ц(1)+ц(2)+…+ц(n)=

где символом - обозначено любое решение уравнения (2).

Действительно, если любое конкретное решение уравнения (2),

D(f) = N, то

ц(k) = (к+1)

а значит

ц(1)+ц(2)+…+ц(n)=

=

Например, так как

, то 1+2+3+…+n =

Вспомним теперь школьную задачу на исследование заданной функции на четность и нечетность. Легко обнаружить, что ее решение есть ни что иное, как проверка, является ли исследуемая функция решением функционального уравнения вида:

F(x)= F(-x) (уравнения четности)

и функционального уравнения вида:

F(x)= - F(-x) (уравнения нечетности),

причем исследуемая функция может удовлетворять обоим уравнениям одновременно. При этом очевидно, что любое решение системы

Есть нуль-функция , где D - произвольное непустое подмножество число вой оси , симметричное относительно точки 0.

С задачей на исследование заданной функции на периодичность ситуация несколько сложнее, ведь требуется выяснить, существует или нет функциональное уравнение в классе так называемых уравнений периодичности:

F(x+T) = f(x),

где Т - любая ненулевая константа, чьим решением является исследуемая функция. Эта задача, безусловно, сложнее двух предыдущих, ведь даже для наперед заданного числового множества M, придумать уравнение или неравенство (используя средства школьной математики), чьим множеством решений будет именно эта совокупность М, весьма не просто. Так, например, сообразишь далеко не в считанные мгновения, что для M=N искомым уравнением будет

или

Завершая рассказ о "невидимках" школьного курса математики по имени функциональные уравнения, хочется напомнить, что знаменитая последовательность Фибоначчи - это решение функционального уравнения вида:

;

что теорема о существовании и единственности представления всякой функции с симметричной относительно точки 0 областью определения в виде суммы некоторой четной и некоторой нечетной функций - это результат системы исследования двух функциональных уравнений относительно двух неизвестных функций; и наконец, что простейшие элементарные функции можно определить как решения специальных "характеристических" функциональных уравнений. Кроме того, функциональные уравнения и методы их решения (метод подстановки, метод Коши, метод "сведения на себя" и т.д.) - прекрасная тема для цикла занятий школьного математического кружка или факультатива, тем более что задачи на исследование функциональных уравнений - обычные гости математических олимпиад школьников, причем олимпиад самого высокого уровня.

Делись добром ;)