3.1.4 Класс дифференцируемых функций
Известно, что если функция f (х) дифференцируема в точке х 0, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (3.1.1), получим
(3.1.4.1)
(, как производная постоянной). Равенство (3.1.4.1) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(3.1.4.1) х = 0, придем к тождеству
для всех у R. Итак, - постоянная функция. Поэтому ее первообразная
f (х) = сх + b (3.1.4.2)
где b - некоторое действительное число. Проверка показывает, что (3.1.4.2) удовлетворяет (3.1.1) только при b = 0, с R.
Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде
,
Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства
вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (3.1.1).
Приведем пример данной функции.
x = .
Покажем, что функция f(x) = удовлетворяет нашему уравнению.
f(x+y) = f(.+) = + = f(x) + f(y)
Очевидно, что она отлична от уже найденного нами решения. Предыдущее же решение единственное в классе непрерывных функций, следовательно, это решение является разрывным.
- Введение
- 1. Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами
- 2. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами
- 3. Виды функциональных уравнений
- 3.1 Функциональное уравнение Коши
- 3.1.1 Класс непрерывных функций
- 3.1.2 Класс монотонных функций
- 3.1.3 Класс ограниченных функций
- 3.1.4 Класс дифференцируемых функций
- 3.2 Функциональное уравнение показательной функции
- 3.3 Функциональное уравнение логарифмической функции
- 3.4 Функциональное уравнение степенной функции
- 3.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши
- 4. Методы решения функциональных уравнений
- 4.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
- 4.2 Метод подстановок
- 4.3 Решение функциональных уравнений с применением теории групп
- Способы решения систем уравнений с двумя переменными.
- Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
- Решение функциональных, рекуррентных и других уравнений. Функция RootOf
- Способы решения уравнений.
- Системы линейных алгебраических уравнений, способы их решения.
- 4.8. Решение функциональных уравнений
- § 4. Решение функциональных уравнений с применением теории групп
- Решение функциональных уравнений