Способы решения функциональных уравнений

курсовая работа

4.2 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 4.2.1. Найти все функции f(x), заданные на промежутке

,

для которых выполнено равенство

Решение. Выполнив последовательно две замены ; приходим к системе функциональных уравнений:

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим

Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на всё множество I.

Пример 4.2.2 Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

и первое уравнение принимает вид:

или

В результате получаем систему уравнений:

решение которой

g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Пример 4.2.3 Найти все решения функционального уравнения

f(xy) = yk f(x), k N.

Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = yk f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.

Пусть теперь x ? 0. Подставим в уравнение

,

получим:

или (a=f(1))

Функция f(x) = axk является решением исходного уравнения.

Пример 4.2.4 Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ? 1 и удовлетворяющую уравнению

,

где g - заданная функция, определённая при x ? 1.

Решение. При замене получаем систему

.

решением которой при a2 ? 1 является функция

Делись добром ;)