4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, куб
В начале работы мы рассмотрели треугольник, разбитый средними линиями на четыре одинаковых треугольника (см. рис. 1). Попробуем проделать то же построение для произвольной треугольной пирамиды (тетраэдра). Распилим тетраэдр на части следующим образом: через середины трех ребер, выходящих из каждой вершины, проведем плоский разрез (рис. 11, а). Тогда от тетраэдра будет отрезано четыре одинаковых маленьких тетраэдра. По аналогии с треугольником можно было бы думать, что в серединке останется еще один такой же тетраэдр. Но это не так: у многогранника, который останется от большого тетраэдра после удаления четырех маленьких, будет шесть вершин и восемь граней -- он называется октаэдром (рис. 11,6). Удобно проверить это, используя кусок сыра в форме тетраэдра. Полученный октаэдр имеет центр симметрии, поскольку середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в общей точке и делятся ею пополам.
С треугольником, разбитым средними линиями на четыре треугольника, связана одна интересная конструкция: этот рисунок мы можем рассмотреть как развертку некоторого тетраэдра.
Представим себе остроугольный треугольник, вырезанный из бумаги. Перегнув его по средним линиям так, чтобы вершины сошлись в одной точке, и склеив сходящиеся в этой точке края бумаги, мы получим тетраэдр, у которого все четыре грани -- равные треугольники; его противоположные ребра равны (рис. 12). Такой тетраэдр называется полуправильным. Каждое из трех «средних сечений» этого тетраэдра -- параллелограммов, стороны которых параллельны противоположным ребрам и равны их половинам,-- будет ромбом.
Поэтому диагонали этих параллелограммов -- три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер -- перпендикулярны друг другу. Среди многочисленных свойств полуправильного тетраэдра отметим такое: сумма углов, сходящихся в каждой его вершине, равна 180° (эти углы соответственно равны углам исходного треугольника). В частности, если начать с развертки в форме равностороннего треугольника, мы получим правильный тетраэдр, у которог
В начале работы мы видели, что каждый треугольник можно рассматривать как треугольник, образованный средними линиями большего треугольника. Прямой аналогии в пространстве для такого построения нет. Но оказывается, что любой тетраэдр можно рассматривать как «сердцевину» параллелепипеда, у которого все шесть ребер тетраэдра служат диагоналями граней. Для этого нужно проделать следующее построение в пространстве. Через каждое ребро тетраэдра проведем плоскость, параллельную противоположному ребру. Плоскости, проведенные через противоположные ребра тетраэдра, будут параллельны друг другу (они параллельны плоскости «среднего сечения» -- параллелограмма с вершинами в серединах четырех других ребер тетраэдра). Так получаются три пары параллельных плоскостей, при пересечении которых образуется нужный параллелепипед (две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Вершины тетраэдра служат четырьмя несмежными вершинами построенного параллелепипеда (рис. 13). Наоборот, в любом параллелепипеде можно выбрать четыре несмежные вершины и отрезать от него плоскостями, проходящими через каждые три из них, угловые тетраэдры. После этого останется «сердцевина» -- тетраэдр, ребра которого являются диагоналями граней параллелепипеда.
Если исходный тетраэдр полуправильный, то каждая грань построенного параллелепипеда будет параллелограммом с равными диагоналями, т.е. прямоугольником.
Верно и обратное: «сердцевиной» прямоугольного параллелепипеда служит полуправильный тетраэдр. Три ромба -- средние сечения такого тетраэдра -- лежат в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Они служат плоскостями симметрии октаэдра, полученного из такого тетраэдра отрезанием углов.
Для правильного тетраэдра описанный вокруг него параллелепипед будет кубом (рис. 14), а центры граней этого куба -- середины ребер тетраэдра -- будут вершинами правильного октаэдра, все грани которого -- правильные треугольники. (Три плоскости симметрии октаэдра пересекают тетраэдр по квадратам.)
Таким образом, на рисунке 14 мы видим сразу три из пяти платоновых тел (правильных многогранников) -- куб, тетраэдр и октаэдр.
- Методика ознакомления с геометрическими фигурами
- 37. Программные задачи и приемы ознакомления с геометрическими фигурами в младшем, среднем и старшем дошкольном возрасте.
- Геометрические фигуры
- 6.3 Линии и фигуры
- Виды геометрических фигур
- 2.4. Геометрические фигуры
- Понятие геометрической фигуры. Виды геометрических фигур.
- 41. Особенности восприятия и умения определять геометрические фигуры. Обследование геометрических фигур.
- Понятие геометрической фигуры. Виды геометрических фигур.