Средняя кривизна поверхности

курсовая работа

§1. Возможно ли кривое пространство?

Легко представить себе, что такое кривая линия, кривая поверхность, но представить себе кривое пространство очень трудно.

Обычные возражения против искривленности пространства таковы: кривую линию невозможно совместить с прямой, а приходится располагать на плоскости или в пространстве; точно так же и кривую поверхность невозможно поместить на плоскости - чтобы вместить ее, нужно по крайней мере трехмерное пространство. Следовательно, и искривленное трехмерное пространство должно лежать в каком-то объемлющем его пространстве четырех, а то и пяти измерений. А так как никто четырехмерного пространства не наблюдал, то пространство, в котором мы живем, никак не может быть искривленным. Некоторые философы добавляли к этим рассуждениям всякие страшные слова об идеализме, фидеизме и т.д. Зато авторам научно-фантастических рассказов идея четырехмерно пространства очень понравилась. Во многих рассказах и повестях Уэллса происходят путешествия в четвертом измерении.

На самом деле, искривленность пространства никак не связана с четвертым измерением, а является, так сказать, его внутренним телом. И установить искривленность можно не выходя из этого пространства, а лишь проводя измерения внутри него.

В течение многих тысячелетий люди думали, что Земля плоская. Однако астрономические наблюдения (за тенью Земли во время лунных затмений, за Солнцем и звездами) привели древнегреческих ученых к мысли о шарообразности Земли. Эратосфену удалось даже с довольно большой точностью измерить радиус Земли. Но после того как христианство стало государственной религией, достижения языческой науки, были забыты, и снова воцарилась мысль, что Земля - плоская. И для доказательства шарообразности Земли понадобилось кругосветное путешествие Магеллана.

А теперь представьте себе некую планету, где живут разумные существа, но небо закрыто вечной пеленой облаков, а океанские путешествия по тем или иным причинам невозможны. Смогли бы жители этой планеты узнать, что они живут не на куске плоскости, со всех сторон окруженном водой, а на сфере? Иными словами, было ли необходимо путешествие Магеллана для того, чтобы доказать шарообразность Земли?

Чтобы понять, как возникает идея кривизны поверхности, проследим за ходом развития геометрии на этой воображаемой планете. Геометрия возникает как экспериментальная наука, как теоретическое обобщение многовековых наблюдений над свойствами пространства. Поскольку небо планеты покрыто облаками, геометрам пришлось вести наблюдения лишь на ее поверхности. Оказалось, что среди всех линий, соединяющих две точки этой поверхности, всегда наикратчайшая (рис.1).

Рис.1

Наикратчайшие линии и были названы «отрезками прямых». Разумеется, наблюдатель, который посмотрел бы на планету со стороны, сказал бы, что эти линии совсем не прямые, а кривые - это дуги больших кругов сферы. Но жители не могли посмотреть на свою планету со стороны и считали наикратчайшие линии, проведенные на поверхности, прямыми (впрочем, ведь и мы часто говорим «дорога прямая, как стрела», хотя на самом деле она идет по дуге большого круга).

Затем установили свойства этих «прямых». В самом начале наблюдения была доступна лишь малая часть планеты, а точность измерения оставалась очень небольшой. Поэтому в пределах точности измерения свойства «прямых» на поверхности планеты были такими же, как свойства прямых на плоскости, -- через две точки проходила одна и только одна «прямая», две «прямые» пересекались в одной и только одной точке (вторая точка пересечения, диаметрально противоположная первой, была недосягаема для наблюдателей). Наконец, геометры были уверены, что их «прямые линии» бесконечны. Сама мысль, что при движении по «прямой» в одном и том же направлении они вернутся в исходную точку, казалась дикой, непонятной и противоречащей здравому смыслу. И ученые были убеждены, что поверхность их планеты бесконечна, а тех, кто выдвигал иные идеи, обвиняли во всех смертных грехах.

Дальнейшее изучение свойств «прямых» показало, что в пределах точности измерения сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов и т.д. Иными словами, жители этой планеты построили геометрию Евклида и считали, что она полностью приложима к поверхности их планеты.

Вскоре, однако, им пришлось убедиться, что это не так. По мере развития техники удавалось измерить все большие и большие куски суши (океанских плаваний жители совершать не могли). И эти измерения вступили в противоречие с евклидовой геометрией. Чтобы понять в чем дело, возьмем на сфере три точки А, В и С (рис.2,а). Эти точки можно соединить «отрезками прямых», а по-нашему - дугами больших кругов (т.е. дугами меридианов АВ и АС и дугой экватора ВС). В результате получается треугольник ABC. Легко видеть, что все три угла этого треугольника прямые. Значит, сумма его углов равна 270 градусам, а не 180 градусам, как полагается по геометрии Евклида. На 90 градусов больше, чем нужно.

У других треугольников избыток суммы углов был бы другой. Например, у треугольника ABD (рис.2,б) каждый из углов В и D равен 90 градусам, а угол BAD - 180 градусам. Сумма углов этого треугольника равна 360 градусам - на 180 градусов больше, чем нужно. ?+?+? - избыток этого треугольника, где ?, ?, ? - его углы.

Рис.2

Но не только наличие избытка у треугольников показало жителям, что они живут не на плоскости, а на кривой поверхности. Неверной оказалась и теорема Пифагора. Например, у треугольника ABC угол А составляет 90 градусов, а все его стороны равны друг другу. Вообще, здесь трудно разобрать, где гипотенуза, а где катеты, - все углы прямые.

К неожиданным результатам привело и изучение «параллельных прямых» на поверхности планеты. Ведь если провести на плоскости замкнутую линию, а потом перемещать вдоль нее отрезок так, чтобы он оставался все время параллелен самому себе, то отрезок вернется в исходную точку, не изменив направления (рис.3,а). Измерения малых участков поверхности планеты, казалось бы, подтверждали этот результат («параллельными» жители считали «прямые», перпендикулярные одной и той же «прямой»).

Но измерения больших участков поверхности привели совсем к иным результатам. Возьмем, например, треугольник ABN (рис.3,б) и проведем в точке N «отрезок», перпендикулярный NA. Будем переносить этот отрезок вдоль контура треугольника ABN, следя за тем, чтобы он оставался все время параллельным самому себе. Когда мы придем в точку А, то получим отрезок, направленный по экватору. Так как экватор сам является «прямой» , то после параллельного переноса в точку В отрезок снова будет направлен по экватору. А когда мы перенесем его еще по меридиану BN, то получим отрезок, повернутый на 90 градусов относительно первоначального направления (т.е. как раз на величину избытка треугольника ABN). А если бы мы переносили отрезок по контуру треугольника ABD на (рис.3,б), то он повернулся бы на 180 градусов.

Рис. 3

Вообще, при параллельном переносе по контуру любого сферического треугольника отрезок поворачивается на угол, равный избытку этого треугольника. Любопытный результат получается, если переносить отрезок вдоль экватора. На первый взгляд кажется, что он возвратится в исходную точку, не повернувшись. Но это неверно. Если все время сносить движущийся отрезок в одну и ту же точку - полюс сферы, то мы увидим, что он повернулся на 360 градусов (рис.4).

Это и неудивительно. Дополним экватор дугой меридиана AN. Мы получим «треугольник» NAN. В этом треугольнике два угла прямые, а третий равен 360 градусов. Поэтому и его избыток равен 360 градусам.

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности Егоров А.А. Такая разная геометрия. - М.:Бюро Квантум, 2001., (Прил. к журналу «Квант» №2/2001.), С.25-32..

Рис.4

Делись добром ;)