Средняя кривизна поверхности

курсовая работа

§2. Первая основная квадратичная форма

Нам следует изучить поверхность в бесконечно малом вблизи какой-нибудь её точки М(u,v) и мы ограничимся точностью 1-го порядка. Сместимся из точки М(u,v) по какой-нибудь кривой на поверхности

u = u(t), v=v(t)

в бесконечно близкую точку М (рис.5). Если приращение параметра t при этом будет dt, то дифференциалы криволинейных координат на поверхности (отличные, вообще говоря, от их приращений) будут

du=u(t)dt, dv= v(t)dt.

В дальнейшем просто будем говорить о дифференциалах du, dv, отвечающих данному бесконечно малому смещению по поверхности.

Отношение этих дифференциалов dv:du (если du?0) имеет вполне определенное значение v(t): u(t) и характеризует направление касательной к пути смещения.

Рис.5

Вычислим дифференциал радиус-вектора r вдоль нашей кривой, отвечающий смещению из М в М. По формуле dr=ru(u,v)du+rv(u,v)dv, где du=u(t)dt, dv=v(t)dt, получаем:

dr=rudu +rvdv.

Теперь нетрудно вычислить и дифференциал дуги ds кривой, отвечающей тому же смещению ММ.

|ds|=|dr|=|rudu+rvdv|

или ds2=dr2=(rudu+rvdv)2.

Раскрывая скобки, вычисляем скалярный квадрат в правой части и получаем

ds2 = ru2du2+2rurvdudv+rv2dv2.

Векторы ru, rv, а следовательно, и их скалярнмые произведения суть функции от u, v зависят, лишь от выбора точки М(u,v). Введем для этих скалярных произведений сокращенные обозначения

Тогда предыдущая формула может быть переписана в виде

ds2 = E(u,v)du2+ 2F(u,v)dudv+ G(u,v)dv2.

Выражение в правой части называется первой основной квадратичной формой на поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Как известно, вообще квадратичной формой называется целая рациональная функция (многочлен), однородная второй степени. Таким образом, эта формула является квадратичной формой по отношению к дифференциалам du, dv. Что же касается коэффициентов квадратичной формы Е, F, G, то они от du, dv не зависят, а зависят лишь от выбора точки М(u,v) на поверхности, по отношению к которой квадратичная форма составлена.

Значение первой квадратичной формы заключается в том, что она выражает квадрат дифференциала дуги ds при бесконечно малом смещении по поверхности. При этом коэффициенты квадратичной формы определяются той точкой М(u,v), из которой производится смещение, а дифференциалы du, dv отвечают данному смещению из М.

Таким образом, первая квадратичная форма служит нам прежде всего для измерения в бесконечно малом длин вдоль поверхности. Но также, зная эту формулу, можно измерять углы между кривыми и вычислять на поверхности площади Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, изд. 3-е, переработанное. - М., 1950, С. 226-229..

Делись добром ;)