§8. Примеры

Приведем несколько примеров нахождения средних кривизн поверхностей.

Пример 1:

Eсли поверхность задана уравнением z=f(x, y), найдите ее среднюю кривизну.

Решение: Поверхность, определяемая уравнением z=f(x, y), может быть задана параметрически в виде

r(x, y)=(x, y, f(x,y)), r_x=(1, 0, f_x), r_y=(1, 0, f_y).

Матрица первой квадратичной формы имеет вид

r_{x ?} r_y=(- f_x, - f_y, 1), | r_{x ?} r_y |=

m==

r_{x x}=(0, 0, f_xx), r_xy=(0, 0, f_xy), r_yy=(0, 0, f_yy),

L=‹r_xx, m›=

M=‹r_xy ,m›=

N=‹r_yy, m›= .

Матрица второй квадратичной формы имеет вид

Иначе эту формулу можно записать в другом виде

,

где p, q, r, s, t - обычные обозначения для производных функций.

Ответ: .

Пример 2:

Найдите среднюю кривизну поверхности вращения.

Решение: r_u=(x?, ??cos?, ??sin?), r_?=(0, -?sin?, ?cos?). Здесь ? обозначает дифференцирование по u.

Матрица первой квадратичной формы

r_{x ?} r_y=(???, -?x?cos?, -?x?sin?), ), | r_{x ?} r_y |=?

m=

r_uu=(x??, ???cos?, ???sin?),

r_u?=(0, -??sin?, ??cos?),

r_??=(0, -??cos?, -?sin?),

L=,

M=0,

N=.

Теперь вычислим среднюю кривизну поверхности вращения:

Ответ: H.

Пример 3:

Показать, что средняя кривизна геликоида равна 0.

Решение: Параметрическое уравнение геликоида имеет вид x=ucosv, y=usinv, z=av.

Тогда

r(u,v)=(ucosv, usinv, av),

r_u=(cosv, sinv, o), r_v=(-usinv, ucosv, a),

E=1, F=0, G=a²+u²,

r_{u ?} r_v=(asinv, -acosv, u), ), | r_{u ?} r_v |=,

m==,

r_uu=(0, 0, 0),

r_uv=(-sinv, cosv, 0),

r_vv=(-ucosv, -usinv, 0),

L=0,

M=,

N=0.

.

Ответ: H=0

Пример 4:

Вычислить среднюю кривизну винтовой поверхности x=ucosv, y=usinv, z=u+v.

Решение: Имеем:

r=(ucosv, usinv, u+v),

r_u=(cosv, sinv, 1), r_v=(-usinv, ucosv, 1),

E=2, F=1, G=1+u²,

r_{u ?} r_v=(sinv-ucosv, -cosv-usinv, u), | r_{u ?} r_v |=,

m==,

r_uu=(0, 0, 0), r_uv=(-sinv, cosv, 0), r_vv=(-ucosv, -usinv, 0),

L=0,

M=,

N=.

.

Ответ: .

Пример 5

Найти среднюю кривизну поверхности x=cosv-usinv, y=sinv+ucosv, z=u+v.

Решение: Имеем:

r(u,v)=( cosv-usinv, sinv+ucosv, u+v).

r_u=(-sinv, cosv,1), r_v=(-ucosv-sinv, -usinv+cosv, 1),

E=‹r_u, r_u›=2, F=‹r_u, r_v›=2, G=‹r_v, r_v›=2+u²,

r_{u ?} r_v=(usinv, -ucosv, u), | r_{u ?} r_v |=uv2,

m=(sinv, -cosv, 1),

r_uu=(0, 0, 0), r_uv=(-cosv, -sinv, 0), r_vv=(usinv-cosv, -ucos-sinv, 0),

L=‹r_uu, m›=0,

M=‹r_uv, m›=0,

N=‹r_vv, m›=u,

.

Ответ: H=u.

Пример 6:

Вычислить среднюю кривизну данной поверхности x=3u+3uv²-u³, y=v³-3v-3u² v, z=3(u²-v²).

Решение: Имеем:

r=(3u+3uv²-u³, v³-3v-3u² v, 3(u²-v²),

r_u=(3+3v²-3u², -6uv, 6u), r_v=(6uv, 3v³-3u²-3, -6v),

E=9((1+v²-u ²)²+4u ²v²+4u ²)=9(u²+v²+1)²,

F=9(1- u²+v²)2uv+(-2uv)( v²-u ²-1)-4uv)=0,

G=9(4u ²v²+(u²-v²+1)² +4v²)=9(u²+v²+1)²,

r_{u ?} r_v=9(2u(u²+v²+1), 2v(u²+v²+1), (u²+v²)¹-1), | r_{u ?} r_v |=9(u²+v²+1)²,

m=,

r_uu=(-6u, -6v, 6), r_uv=(6v, -6u, 0), r_vv=(6u, 6v, -6),

L=,

M=,

N=,

.

Ответ: H=0.

Пример 7:

Пусть r=r(u,v)- уравнение поверхности S, а r*=r+am- уравнение параллельной ей поверхности S*. Выразить среднюю кривизну поверхности S*,через среднюю кривизну поверхности S.

Решение: Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями:

E*=(1-a²K)E+2a(aH-1)L,

F*=(1-a²K)F+2a(aH-1)M,

G*=(1-a²K)G+2a(aH-1)N,

L*=aKE+(1-2aH)L,

M*=aKF+(1-2aH)M,

N*=aKG+(1-2aH)N.

Отсюда получаем искомое выражение:

.

Ответ: .

Пример 8:

Докажите, что для средней кривизны поверхности имеет место формула

,

где d? и d?* - соответствующие элементы площади параллельных поверхностей S и S*.

Доказательство: Пусть на поверхности S координатные линии совпадают с линиями кривизны. Используя основной оператор, получаем

r_u*=(1-ak₁)r_u, r_v*=(1-ak₂)r_v.

Следовательно, коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями

E*=(1-ak₁)²E, G*=(1-ak₂)²G, F*=F=0.

Отсюда

d?*=(1-ak₁)(1-ak₂) d?

и .

искривленность кривизна поверхность пленка