§8. Примеры
Приведем несколько примеров нахождения средних кривизн поверхностей.
Пример 1:
Eсли поверхность задана уравнением z=f(x, y), найдите ее среднюю кривизну.
Решение: Поверхность, определяемая уравнением z=f(x, y), может быть задана параметрически в виде
r(x, y)=(x, y, f(x,y)), rx=(1, 0, fx), ry=(1, 0, fy).
Матрица первой квадратичной формы имеет вид
rx ? ry=(- fx, - fy, 1), | rx ? ry |=
m==
rx x=(0, 0, fxx), rxy=(0, 0, fxy), ryy=(0, 0, fyy),
L=‹rxx, m›=
M=‹rxy ,m›=
N=‹ryy, m›= .
Матрица второй квадратичной формы имеет вид
Иначе эту формулу можно записать в другом виде
,
где p, q, r, s, t - обычные обозначения для производных функций.
Ответ: .
Пример 2:
Найдите среднюю кривизну поверхности вращения.
Решение: ru=(x?, ??cos?, ??sin?), r?=(0, -?sin?, ?cos?). Здесь ? обозначает дифференцирование по u.
Матрица первой квадратичной формы
rx ? ry=(???, -?x?cos?, -?x?sin?), ), | rx ? ry |=?
m=
ruu=(x??, ???cos?, ???sin?),
ru?=(0, -??sin?, ??cos?),
r??=(0, -??cos?, -?sin?),
L=,
M=0,
N=.
Теперь вычислим среднюю кривизну поверхности вращения:
Ответ: H.
Пример 3:
Показать, что средняя кривизна геликоида равна 0.
Решение: Параметрическое уравнение геликоида имеет вид x=ucosv, y=usinv, z=av.
Тогда
r(u,v)=(ucosv, usinv, av),
ru=(cosv, sinv, o), rv=(-usinv, ucosv, a),
E=1, F=0, G=a2+u2,
ru ? rv=(asinv, -acosv, u), ), | ru ? rv |=,
m==,
ruu=(0, 0, 0),
ruv=(-sinv, cosv, 0),
rvv=(-ucosv, -usinv, 0),
L=0,
M=,
N=0.
.
Ответ: H=0
Пример 4:
Вычислить среднюю кривизну винтовой поверхности x=ucosv, y=usinv, z=u+v.
Решение: Имеем:
r=(ucosv, usinv, u+v),
ru=(cosv, sinv, 1), rv=(-usinv, ucosv, 1),
E=2, F=1, G=1+u2,
ru ? rv=(sinv-ucosv, -cosv-usinv, u), | ru ? rv |=,
m==,
ruu=(0, 0, 0), ruv=(-sinv, cosv, 0), rvv=(-ucosv, -usinv, 0),
L=0,
M=,
N=.
.
Ответ: .
Пример 5
Найти среднюю кривизну поверхности x=cosv-usinv, y=sinv+ucosv, z=u+v.
Решение: Имеем:
r(u,v)=( cosv-usinv, sinv+ucosv, u+v).
ru=(-sinv, cosv,1), rv=(-ucosv-sinv, -usinv+cosv, 1),
E=‹ru, ru›=2, F=‹ru, rv›=2, G=‹rv, rv›=2+u2,
ru ? rv=(usinv, -ucosv, u), | ru ? rv |=uv2,
m=(sinv, -cosv, 1),
ruu=(0, 0, 0), ruv=(-cosv, -sinv, 0), rvv=(usinv-cosv, -ucos-sinv, 0),
L=‹ruu, m›=0,
M=‹ruv, m›=0,
N=‹rvv, m›=u,
.
Ответ: H=u.
Пример 6:
Вычислить среднюю кривизну данной поверхности x=3u+3uv2-u3, y=v3-3v-3u2 v, z=3(u2-v2).
Решение: Имеем:
r=(3u+3uv2-u3, v3-3v-3u2 v, 3(u2-v2),
ru=(3+3v2-3u2, -6uv, 6u), rv=(6uv, 3v3-3u2-3, -6v),
E=9((1+v2-u 2)2+4u 2v2+4u 2)=9(u2+v2+1)2,
F=9(1- u2+v2)2uv+(-2uv)( v2-u 2-1)-4uv)=0,
G=9(4u 2v2+(u2-v2+1)2 +4v2)=9(u2+v2+1)2,
ru ? rv=9(2u(u2+v2+1), 2v(u2+v2+1), (u2+v2)1-1), | ru ? rv |=9(u2+v2+1)2,
m=,
ruu=(-6u, -6v, 6), ruv=(6v, -6u, 0), rvv=(6u, 6v, -6),
L=,
M=,
N=,
.
Ответ: H=0.
Пример 7:
Пусть r=r(u,v)- уравнение поверхности S, а r*=r+am- уравнение параллельной ей поверхности S*. Выразить среднюю кривизну поверхности S*,через среднюю кривизну поверхности S.
Решение: Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями:
E*=(1-a2K)E+2a(aH-1)L,
F*=(1-a2K)F+2a(aH-1)M,
G*=(1-a2K)G+2a(aH-1)N,
L*=aKE+(1-2aH)L,
M*=aKF+(1-2aH)M,
N*=aKG+(1-2aH)N.
Отсюда получаем искомое выражение:
.
Ответ: .
Пример 8:
Докажите, что для средней кривизны поверхности имеет место формула
,
где d? и d?* - соответствующие элементы площади параллельных поверхностей S и S*.
Доказательство: Пусть на поверхности S координатные линии совпадают с линиями кривизны. Используя основной оператор, получаем
ru*=(1-ak1)ru, rv*=(1-ak2)rv.
Следовательно, коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей S и S* связаны соотношениями
E*=(1-ak1)2E, G*=(1-ak2)2G, F*=F=0.
Отсюда
d?*=(1-ak1)(1-ak2) d?
и .
искривленность кривизна поверхность пленка
- III.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
- III.9. Главные кривизны на поверхности.
- 3.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
- 3.9. Главные кривизны на поверхности.
- 3.5.4. Гауссова и средняя кривизны поверхности
- 2.4 Полная и средняя кривизны поверхности.
- Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
- 8. Главные кривизны поверхности
- Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера
- 48. Полная и средняя кривизна поверхности. Понятие внутренней геометрии поверхности.