Статистика измерений
1. Определение закона распределения вероятностей результатов измерений
Весь массив экспериментальных данных характеризует результат измерения Х. Он может быть также описан с помощью функции распределения вероятности. Но необходимо проверить, не было ли допущено ошибок при получении отдельных значений результата измерений.
Все результаты заданной группировки результатов измерений, ранжируем в порядке возрастания. Они представляют собой вариационный ряд.
Сведем в таблицу 1 все данные и вычислим основные «оценочные» характеристики.
Таблица 1. Обработка результатов измерений.
|
№ |
х |
m |
mx |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
0,00 |
-0,34 |
0,1156 |
0,8092 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
0,04 |
-0,33 |
0,1089 |
0,4356 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
0,12 |
-0,32 |
0,1024 |
0,6144 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
0,21 |
-0,31 |
0,0961 |
0,6727 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
0,36 |
-0,30 |
0,0900 |
0,8100 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
0,30 |
-0,29 |
0,0841 |
0,5046 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
0,12 |
-0,28 |
0,0784 |
0,1568 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
0,70 |
-0,27 |
0,0729 |
0,7290 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
0,32 |
-0,26 |
0,0676 |
0,2704 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
0,45 |
-0,25 |
0,0625 |
0,3125 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
0,90 |
-0,24 |
0,0576 |
0,5184 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
0,55 |
-0,23 |
0,0529 |
0,2645 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
0,84 |
-0,22 |
0,0484 |
0,3388 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
0,52 |
-0,21 |
0,0441 |
0,1764 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
1,54 |
-0,20 |
0,0400 |
0,4400 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
1,05 |
-0,19 |
0,0361 |
0,2527 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
0,96 |
-0,18 |
0,0324 |
0,1944 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
0,85 |
-0,17 |
0,0289 |
0,1445 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
1,44 |
-0,16 |
0,0256 |
0,2048 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
0,76 |
-0,15 |
0,0225 |
0,0900 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
0,60 |
-0,14 |
0,0196 |
0,0588 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
0,21 |
-0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
0,22 |
-0,12 |
0,0144 |
0,0144 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
0,69 |
-0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
0,72 |
-0,10 |
0,0100 |
0,0300 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
0,75 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0243 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
0,78 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0192 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
0,81 |
-0,07 |
0,0049 |
0,0147 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
1,12 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0144 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
0,29 |
-0,05 |
0,0025 |
0,0025 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
1,20 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0064 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
1,55 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0045 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
0,96 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0012 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
0,99 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
1,05 |
0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,36 |
0,02 |
0,0004 |
0,0004 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,76 |
0,04 |
0,0016 |
0,0032 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
1,17 |
0,05 |
0,0025 |
0,0075 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
1,20 |
0,06 |
0,0036 |
0,0108 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,86 |
0,09 |
0,0081 |
0,0162 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,88 |
0,10 |
0,0100 |
0,0200 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
1,35 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,92 |
0,12 |
0,0144 |
0,0288 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,47 |
0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,96 |
0,14 |
0,0196 |
0,0392 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,51 |
0,17 |
0,0289 |
0,0289 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,52 |
0,18 |
0,0324 |
0,0324 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
1,06 |
0,19 |
0,0361 |
0,0722 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
1,62 |
0,20 |
0,0400 |
0,1200 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
1,10 |
0,21 |
0,0441 |
0,0882 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,56 |
0,22 |
0,0484 |
0,0484 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
1,16 |
0,24 |
0,0576 |
0,1152 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,59 |
0,25 |
0,0625 |
0,0625 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,60 |
0,26 |
0,0676 |
0,0676 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
2,48 |
0,28 |
0,0784 |
0,3136 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
1,26 |
0,29 |
0,0841 |
0,1682 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
1,28 |
0,30 |
0,0900 |
0,1800 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,65 |
0,31 |
0,0961 |
0,0961 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,70 |
0,36 |
0,1296 |
0,1296 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
1,42 |
0,37 |
0,1369 |
0,2738 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,73 |
0,39 |
0,1521 |
0,1521 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,76 |
0,42 |
0,1764 |
0,1764 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,77 |
0,43 |
0,1849 |
0,1849 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,80 |
0,46 |
0,2116 |
0,2116 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,81 |
0,47 |
0,2209 |
0,2209 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,83 |
0,49 |
0,2401 |
0,2401 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,84 |
0,50 |
0,2500 |
0,2500 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,88 |
0,54 |
0,2916 |
0,2916 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,89 |
0,55 |
0,3025 |
0,3025 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
1,94 |
0,63 |
0,3969 |
0,7938 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,98 |
0,64 |
0,4096 |
0,4096 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,99 |
0,65 |
0,4225 |
0,4225 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
3,00 |
0,66 |
0,4356 |
1,3068 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
1,02 |
0,68 |
0,4624 |
0,4624 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
2,16 |
0,74 |
0,5476 |
1,0952 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
1,15 |
0,81 |
0,6561 |
0,6561 |
|
|
78 |
1,19 |
1 |
1,19 |
0,85 |
0,7225 |
0,7225 |
|
|
79 |
1,20 |
1 |
1,20 |
0,86 |
0,7396 |
0,7396 |
|
|
80 |
1,25 |
2 |
2,50 |
0,91 |
0,8281 |
1,6562 |
|
|
81 |
1,32 |
1 |
1,32 |
0,98 |
0,9604 |
0,9604 |
|
|
82 |
1,52 |
1 |
1,52 |
1,18 |
1,3924 |
1,3924 |
|
|
83 |
1,56 |
1 |
1,56 |
1,22 |
1,4884 |
1,4884 |
|
|
84 |
1,79 |
1 |
1,79 |
1,45 |
2,1025 |
2,1025 |
|
|
85 |
2,10 |
1 |
2,10 |
1,76 |
3,0976 |
3,0976 |
|
|
86 |
2,34 |
2 |
4,68 |
2,00 |
4,0000 |
8,0000 |
|
|
Сумма |
250 |
85,84 |
37,496 |
1. Определим среднюю арифметическую значений заданной выборки:
=
= = 0.34336 0.34.
Для того, чтобы использовать данную формулу в Excel, вводим исходные данные в таблицу, устанавливаем курсор в свободную ячейку и вызываем Мастер функций. В открывшимся диалоговом окне выбираем категорию Статистические. В нашем случае - взвешенная средняя арифметическая. Для ее вычисления используем комбинацию функций СУММПРОИЗВ и СУММ.
В качестве диапазона значений указываем ячейки, содержащие наши числовые данные. Клик по ОК завершит процесс вычисления. Среднее арифметическое отображается в выделенной ячейке.
Для характеристики величины возможных колебаний наблюдаемых единиц совокупности необходимо вычислить: средний квадрат отклонения (дисперсия) и среднее квадратическое отклонение.
2. Определяем несмещенный центр дисперсии результата измерения.
= ;
= = 0.1506.
3. Определяем среднее квадратическое отклонение.
S = у = .
у = = 0,388 0,4.
Формулы в Excel для их вычисления: СРОТКЛ и КВАДРОТКЛ.
4. Для исключения из выборки ошибок определим: 3у = 3*0,388 = 1,164.
И исключим значения хi , отличающиеся от среднего значения больше чем на 3у:
/х - / 3у.
Это будут значения под номерами: №№ 82 - 86.
Будем работать с членами вариационного ряда под номерами 1 - 81 (таблица 2). И вычислим для этого диапазона те же характеристики.
Таблица 2.Вариационный ряд с исключенными промахами 82 - 86.
|
№ |
х |
m |
mx |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
0,00 |
-0,34 |
0,1156 |
0,8092 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
0,04 |
-0,33 |
0,1089 |
0,4356 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
0,12 |
-0,32 |
0,1024 |
0,6144 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
0,21 |
-0,31 |
0,0961 |
0,6727 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
0,36 |
-0,30 |
0,0900 |
0,8100 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
0,30 |
-0,29 |
0,0841 |
0,5046 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
0,12 |
-0,28 |
0,0784 |
0,1568 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
0,70 |
-0,27 |
0,0729 |
0,7290 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
0,32 |
-0,26 |
0,0676 |
0,2704 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
0,45 |
-0,25 |
0,0625 |
0,3125 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
0,90 |
-0,24 |
0,0576 |
0,5184 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
0,55 |
-0,23 |
0,0529 |
0,2645 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
0,84 |
-0,22 |
0,0484 |
0,3388 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
0,52 |
-0,21 |
0,0441 |
0,1764 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
1,54 |
-0,20 |
0,0400 |
0,4400 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
1,05 |
-0,19 |
0,0361 |
0,2527 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
0,96 |
-0,18 |
0,0324 |
0,1944 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
0,85 |
-0,17 |
0,0289 |
0,1445 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
1,44 |
-0,16 |
0,0256 |
0,2048 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
0,76 |
-0,15 |
0,0225 |
0,0900 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
0,60 |
-0,14 |
0,0196 |
0,0588 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
0,21 |
-0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
0,22 |
-0,12 |
0,0144 |
0,0144 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
0,69 |
-0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
0,72 |
-0,10 |
0,0100 |
0,0300 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
0,75 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0243 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
0,78 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0192 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
0,81 |
-0,07 |
0,0049 |
0,0147 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
1,12 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0144 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
0,29 |
-0,05 |
0,0025 |
0,0025 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
1,20 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0064 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
1,55 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0045 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
0,96 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0012 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
0,99 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
1,05 |
0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,36 |
0,02 |
0,0004 |
0,0004 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,76 |
0,04 |
0,0016 |
0,0032 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
1,17 |
0,05 |
0,0025 |
0,0075 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
1,20 |
0,06 |
0,0036 |
0,0108 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,86 |
0,09 |
0,0081 |
0,0162 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,88 |
0,10 |
0,0100 |
0,0200 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
1,35 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,92 |
0,12 |
0,0144 |
0,0288 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,47 |
0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,96 |
0,14 |
0,0196 |
0,0392 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,51 |
0,17 |
0,0289 |
0,0289 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,52 |
0,18 |
0,0324 |
0,0324 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
1,06 |
0,19 |
0,0361 |
0,0722 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
1,62 |
0,20 |
0,0400 |
0,1200 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
1,10 |
0,21 |
0,0441 |
0,0882 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,56 |
0,22 |
0,0484 |
0,0484 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
1,16 |
0,24 |
0,0576 |
0,1152 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,59 |
0,25 |
0,0625 |
0,0625 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,60 |
0,26 |
0,0676 |
0,0676 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
2,48 |
0,28 |
0,0784 |
0,3136 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
1,26 |
0,29 |
0,0841 |
0,1682 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
1,28 |
0,30 |
0,0900 |
0,1800 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,65 |
0,31 |
0,0961 |
0,0961 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,70 |
0,36 |
0,1296 |
0,1296 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
1,42 |
0,37 |
0,1369 |
0,2738 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,73 |
0,39 |
0,1521 |
0,1521 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,76 |
0,42 |
0,1764 |
0,1764 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,77 |
0,43 |
0,1849 |
0,1849 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,80 |
0,46 |
0,2116 |
0,2116 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,81 |
0,47 |
0,2209 |
0,2209 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,83 |
0,49 |
0,2401 |
0,2401 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,84 |
0,50 |
0,2500 |
0,2500 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,88 |
0,54 |
0,2916 |
0,2916 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,89 |
0,55 |
0,3025 |
0,3025 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
1,94 |
0,63 |
0,3969 |
0,7938 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,98 |
0,64 |
0,4096 |
0,4096 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,99 |
0,65 |
0,4225 |
0,4225 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
3,00 |
0,66 |
0,4356 |
1,3068 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
1,02 |
0,68 |
0,4624 |
0,4624 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
2,16 |
0,74 |
0,5476 |
1,0952 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
1,15 |
0,81 |
0,6561 |
0,6561 |
|
|
78 |
1,19 |
1 |
1,19 |
0,85 |
0,7225 |
0,7225 |
|
|
79 |
1,20 |
1 |
1,20 |
0,86 |
0,7396 |
0,7396 |
|
|
80 |
1,25 |
2 |
2,50 |
0,91 |
0,8281 |
1,6562 |
|
|
81 |
1,32 |
1 |
1,32 |
0,98 |
0,9604 |
0,9604 |
|
|
Сумма |
244 |
74,19 |
21,4151 |
а.Средняя арифметическая значений заданной выборки:
=
= = 0,304.
б.Несмещенный центр дисперсии результата измерения.
= ;
= = 0,088.
у = = 0,297.
3у = 3*0,297 = 0,891.
Вновь отбрасываем «ошибочные» значения №№ 80, 81.
Таблица 3.Вариационный ряд с исключенными промахами 81 и 82.
|
№ |
х |
m |
mx |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
0,00 |
-0,34 |
0,1156 |
0,8092 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
0,04 |
-0,33 |
0,1089 |
0,4356 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
0,12 |
-0,32 |
0,1024 |
0,6144 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
0,21 |
-0,31 |
0,0961 |
0,6727 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
0,36 |
-0,30 |
0,0900 |
0,8100 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
0,30 |
-0,29 |
0,0841 |
0,5046 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
0,12 |
-0,28 |
0,0784 |
0,1568 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
0,70 |
-0,27 |
0,0729 |
0,7290 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
0,32 |
-0,26 |
0,0676 |
0,2704 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
0,45 |
-0,25 |
0,0625 |
0,3125 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
0,90 |
-0,24 |
0,0576 |
0,5184 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
0,55 |
-0,23 |
0,0529 |
0,2645 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
0,84 |
-0,22 |
0,0484 |
0,3388 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
0,52 |
-0,21 |
0,0441 |
0,1764 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
1,54 |
-0,20 |
0,0400 |
0,4400 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
1,05 |
-0,19 |
0,0361 |
0,2527 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
0,96 |
-0,18 |
0,0324 |
0,1944 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
0,85 |
-0,17 |
0,0289 |
0,1445 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
1,44 |
-0,16 |
0,0256 |
0,2048 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
0,76 |
-0,15 |
0,0225 |
0,0900 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
0,60 |
-0,14 |
0,0196 |
0,0588 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
0,21 |
-0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
0,22 |
-0,12 |
0,0144 |
0,0144 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
0,69 |
-0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
0,72 |
-0,10 |
0,0100 |
0,0300 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
0,75 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0243 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
0,78 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0192 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
0,81 |
-0,07 |
0,0049 |
0,0147 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
1,12 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0144 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
0,29 |
-0,05 |
0,0025 |
0,0025 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
1,20 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0064 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
1,55 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0045 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
0,96 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0012 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
0,99 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
1,05 |
0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,36 |
0,02 |
0,0004 |
0,0004 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,76 |
0,04 |
0,0016 |
0,0032 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
1,17 |
0,05 |
0,0025 |
0,0075 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
1,20 |
0,06 |
0,0036 |
0,0108 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,86 |
0,09 |
0,0081 |
0,0162 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,88 |
0,10 |
0,0100 |
0,0200 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
1,35 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,92 |
0,12 |
0,0144 |
0,0288 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,47 |
0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,96 |
0,14 |
0,0196 |
0,0392 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,51 |
0,17 |
0,0289 |
0,0289 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,52 |
0,18 |
0,0324 |
0,0324 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
1,06 |
0,19 |
0,0361 |
0,0722 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
1,62 |
0,20 |
0,0400 |
0,1200 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
1,10 |
0,21 |
0,0441 |
0,0882 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,56 |
0,22 |
0,0484 |
0,0484 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
1,16 |
0,24 |
0,0576 |
0,1152 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,59 |
0,25 |
0,0625 |
0,0625 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,60 |
0,26 |
0,0676 |
0,0676 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
2,48 |
0,28 |
0,0784 |
0,3136 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
1,26 |
0,29 |
0,0841 |
0,1682 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
1,28 |
0,30 |
0,0900 |
0,1800 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,65 |
0,31 |
0,0961 |
0,0961 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,70 |
0,36 |
0,1296 |
0,1296 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
1,42 |
0,37 |
0,1369 |
0,2738 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,73 |
0,39 |
0,1521 |
0,1521 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,76 |
0,42 |
0,1764 |
0,1764 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,77 |
0,43 |
0,1849 |
0,1849 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,80 |
0,46 |
0,2116 |
0,2116 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,81 |
0,47 |
0,2209 |
0,2209 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,83 |
0,49 |
0,2401 |
0,2401 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,84 |
0,50 |
0,2500 |
0,2500 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,88 |
0,54 |
0,2916 |
0,2916 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,89 |
0,55 |
0,3025 |
0,3025 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
1,94 |
0,63 |
0,3969 |
0,7938 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,98 |
0,64 |
0,4096 |
0,4096 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,99 |
0,65 |
0,4225 |
0,4225 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
3,00 |
0,66 |
0,4356 |
1,3068 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
1,02 |
0,68 |
0,4624 |
0,4624 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
2,16 |
0,74 |
0,5476 |
1,0952 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
1,15 |
0,81 |
0,6561 |
0,6561 |
|
|
78 |
1,19 |
1 |
1,19 |
0,85 |
0,7225 |
0,7225 |
|
|
79 |
1,20 |
1 |
1,20 |
0,86 |
0,7396 |
0,7396 |
|
|
Сумма |
241 |
70,37 |
18,7985 |
а.Средняя арифметическая значений заданной выборки:
=
= = 0,29.
б.Несмещенный центр дисперсии результата измерения.
= ;
= = 0,078327.
у = = 0,28.
3у = 3*0,28 = 0,84.
Вновь отбрасываем «ошибочные» значения №№ 78, 79.
Таблица 4.Вариационный ряд с исключенными промахами 78 и 79.
|
№ |
х |
m |
mx |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
0,00 |
-0,34 |
0,1156 |
0,8092 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
0,04 |
-0,33 |
0,1089 |
0,4356 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
0,12 |
-0,32 |
0,1024 |
0,6144 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
0,21 |
-0,31 |
0,0961 |
0,6727 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
0,36 |
-0,30 |
0,0900 |
0,8100 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
0,30 |
-0,29 |
0,0841 |
0,5046 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
0,12 |
-0,28 |
0,0784 |
0,1568 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
0,70 |
-0,27 |
0,0729 |
0,7290 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
0,32 |
-0,26 |
0,0676 |
0,2704 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
0,45 |
-0,25 |
0,0625 |
0,3125 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
0,90 |
-0,24 |
0,0576 |
0,5184 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
0,55 |
-0,23 |
0,0529 |
0,2645 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
0,84 |
-0,22 |
0,0484 |
0,3388 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
0,52 |
-0,21 |
0,0441 |
0,1764 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
1,54 |
-0,20 |
0,0400 |
0,4400 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
1,05 |
-0,19 |
0,0361 |
0,2527 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
0,96 |
-0,18 |
0,0324 |
0,1944 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
0,85 |
-0,17 |
0,0289 |
0,1445 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
1,44 |
-0,16 |
0,0256 |
0,2048 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
0,76 |
-0,15 |
0,0225 |
0,0900 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
0,60 |
-0,14 |
0,0196 |
0,0588 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
0,21 |
-0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
0,22 |
-0,12 |
0,0144 |
0,0144 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
0,69 |
-0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
0,72 |
-0,10 |
0,0100 |
0,0300 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
0,75 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0243 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
0,78 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0192 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
0,81 |
-0,07 |
0,0049 |
0,0147 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
1,12 |
-0,06 |
0,0036 |
0,0144 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
0,29 |
-0,05 |
0,0025 |
0,0025 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
1,20 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0064 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
1,55 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0045 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
0,96 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0012 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
0,99 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
1,05 |
0,01 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,36 |
0,02 |
0,0004 |
0,0004 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,76 |
0,04 |
0,0016 |
0,0032 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
1,17 |
0,05 |
0,0025 |
0,0075 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
1,20 |
0,06 |
0,0036 |
0,0108 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,86 |
0,09 |
0,0081 |
0,0162 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,88 |
0,10 |
0,0100 |
0,0200 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
1,35 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,92 |
0,12 |
0,0144 |
0,0288 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,47 |
0,13 |
0,0169 |
0,0169 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,96 |
0,14 |
0,0196 |
0,0392 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,51 |
0,17 |
0,0289 |
0,0289 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,52 |
0,18 |
0,0324 |
0,0324 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
1,06 |
0,19 |
0,0361 |
0,0722 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
1,62 |
0,20 |
0,0400 |
0,1200 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
1,10 |
0,21 |
0,0441 |
0,0882 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,56 |
0,22 |
0,0484 |
0,0484 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
1,16 |
0,24 |
0,0576 |
0,1152 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,59 |
0,25 |
0,0625 |
0,0625 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,60 |
0,26 |
0,0676 |
0,0676 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
2,48 |
0,28 |
0,0784 |
0,3136 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
1,26 |
0,29 |
0,0841 |
0,1682 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
1,28 |
0,30 |
0,0900 |
0,1800 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,65 |
0,31 |
0,0961 |
0,0961 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,70 |
0,36 |
0,1296 |
0,1296 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
1,42 |
0,37 |
0,1369 |
0,2738 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,73 |
0,39 |
0,1521 |
0,1521 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,76 |
0,42 |
0,1764 |
0,1764 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,77 |
0,43 |
0,1849 |
0,1849 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,80 |
0,46 |
0,2116 |
0,2116 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,81 |
0,47 |
0,2209 |
0,2209 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,83 |
0,49 |
0,2401 |
0,2401 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,84 |
0,50 |
0,2500 |
0,2500 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,88 |
0,54 |
0,2916 |
0,2916 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,89 |
0,55 |
0,3025 |
0,3025 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
1,94 |
0,63 |
0,3969 |
0,7938 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,98 |
0,64 |
0,4096 |
0,4096 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,99 |
0,65 |
0,4225 |
0,4225 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
3,00 |
0,66 |
0,4356 |
1,3068 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
1,02 |
0,68 |
0,4624 |
0,4624 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
2,16 |
0,74 |
0,5476 |
1,0952 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
1,15 |
0,81 |
0,6561 |
0,6561 |
|
|
Сумма |
239 |
67,98 |
17,3364 |
а.Средняя арифметическая значений заданной выборки:
=
= = 0,2844.
б.Несмещенный центр дисперсии результата измерения.
= ;
= = 0,072842.
у = = 0,27.
3у = 3*0,27 = 0,81.
И теперь ни одно из оставшихся значений х не отличается от среднего арифметического больше чем на 3у. Можно, следовательно, считать, что среди них нет ошибочных.
4. Рассчитаем следующие дополнительные числовые характеристики полученного статистического ряда:
Размах варьирования.
Размах варьирования вычисляется по формуле:
где R - размах варьирования;
xmax - максимальный элемент вариационного ряда;
xmin - минимальный элемент вариационного ряда;
xmax= 1,15
xmin = 0,00
R = 1,15 - 0,00 = 1,15
Определение моды
Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.
Из исходной таблицы находим, что наибольшую частоту n =11 имеют варианты x = 0.14.
Определение медианы
Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:
МВ=(xk+xk+1)/2
где xk - cто двадцать пятый член вариационного ряда;
xk+1 сто двадцать шестой член вариационного ряда;
n - Количество вариант и n=2*k
МВ=(xk+xk+1)/2=(0,44+0,04)/2= 0,24.
Расчет коэффициента вариации
Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:
Коэффициент вариации более 33%, следовательно, ряд варьируется слабо!
Вывод:
Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики - генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.
Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.
В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.
4. Определение центральных моментов. Для этого нам понадобятся аналогичные таблицы, содержащие элементы
5. и
Таблица 5.
|
№ |
х |
m |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
-0,34 |
0.01336336 |
0,0935435 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
-0,33 |
0,01186 |
0,047437 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
-0,32 |
0,0104858 |
0,062915 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
-0,31 |
0,009235 |
0,0646465 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
-0,30 |
0,0081 |
0,0729 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
-0,29 |
0,0070728 |
0,042437 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
-0,28 |
0,0061466 |
0,012293 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
-0,27 |
0,0053144 |
0,053144 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
-0,26 |
0,0045698 |
0,018279 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
-0,25 |
0,0039 |
0,01953 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
-0,24 |
0,0033178 |
0,02986 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
-0,23 |
0.0027984 |
0,0133992 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
-0,22 |
0,00234256 |
0,0163979 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
-0,21 |
0,0019448 |
0,00777924 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
-0,20 |
0,0016 |
0,0176 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
-0,19 |
0,0013 |
0,0013 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
-0,18 |
0,0010 |
0,006 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
-0,17 |
0,0008 |
0,004 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
-0,16 |
0,00065 |
0,00262 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
-0,15 |
0,0005 |
0,002025 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
-0,14 |
0,0004 |
0,00115248 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
-0,13 |
0,0003 |
0,0169 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
-0,12 |
0,0002 |
0,0144 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
-0,11 |
0,00015 |
0,00045 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
-0,10 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
-0,09 |
0,00006561 |
0,0002 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
-0,08 |
0,00004 |
0,000123 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
-0,07 |
0,000024 |
0,000072 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
-0,06 |
0,000013 |
0,000052 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
-0,05 |
0,00000625 |
0,0000625 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
-0,04 |
0,00000256 |
0,00001 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
-0,03 |
0,0000008 |
0,00000405 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
-0,02 |
0,00000016 |
0,00000048 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
-0,01 |
0,000000010 |
0,00000003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
0,01 |
0,00000001 |
0,00000003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,02 |
0,000000016 |
0,000000016 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,04 |
0,00000256 |
0,00000512 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
0,05 |
0,00000625 |
0,00001875 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
0,06 |
0,00001296 |
0,00003888 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,09 |
0,00006561 |
0,00013122 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,10 |
0,0001 |
0,0002 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
0,11 |
0,0001464 |
0,00043923 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,12 |
0,0002074 |
0,00041472 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,13 |
0,0002856 |
0,0002856 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,14 |
0,0003842 |
0,00076832 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,17 |
0,0008352 |
0,0008352 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,18 |
0,0010498 |
0,0010498 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
0,19 |
0,0013032 |
0,0026064 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
0,20 |
0,0016 |
0,0048 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
0,21 |
0,0019448 |
0,00388962 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,22 |
0,0023426 |
0,0023426 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
0,24 |
0,0033178 |
0,00663552 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,25 |
0,0039063 |
0,0039063 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,26 |
0,00456976 |
0,00456976 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
0,28 |
0,00614656 |
0,02458624 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
0,29 |
0,0070728 |
0,01414562 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
0,30 |
0,0081 |
0,0162 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,31 |
0,0092352 |
0,0092352 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,36 |
0,01679616 |
0,01679616 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
0,37 |
0,0187416 |
0,03748322 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,39 |
0,0231344 |
0,0231344 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,42 |
0,03111696 |
0,03111696 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,43 |
0,034188 |
0,034188 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,46 |
0,04477456 |
0,04477456 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,47 |
0,0487968 |
0,0487968 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,49 |
0,05768 |
0,05768 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,50 |
0,0625 |
0,0625 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,54 |
0,085 |
0,085 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,55 |
0,0915 |
0,0915 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
0,63 |
0,1575296 |
0,315059 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,64 |
0,16777216 |
0,16777216 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,65 |
0,17851 |
0,17851 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
0,66 |
0,189747 |
0,5692421 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
0,68 |
0,213814 |
0,213814 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
0,74 |
0,299866 |
0,59973152 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
0,81 |
0,43047 |
0,43047 |
|
|
Сумма |
239 |
3,7277913 |
Определяем четвёртый центральный момент:
м4 = .
м4 = = 0,0156.
5. Определяем контрэксцесс ч:
ч = .
ч = = 0,5837.
Таким образом, ч лежит в пределах (0,0045; 0,67), следовательно, рассматриваемую выборку можно отнести к классу распределений, близких к нормальному, нормальному, показательному, биноминальному.
нормальное распределение;
f(x) = px(1 - p)n - x - биноминальное распределение;
f(x) = л exp{-лx}, где л = 1/ - показательное.
Оценка центра распределения
Произведем оценку центра распределения. Для распределений, близких к нормальному эффективными оценками являются простые оценки Диксона или усечённые средние:
(а) = , где k = na.
Отбросим два крайних члена совокупности, тогда
(а) = = 0,282
Таким образом, получаем вполне удовлетворительный результат с погрешностью всего
100% = 0,85%.
Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности (определение , у2 и у), но и исследование формы распределения, т. е. оценку симметричности и эксцесса).
Рассчитаем на основе центрального момента 3-го порядка коэффициент ассиметрии
As =
Определим третий центральный момент.
Таблица 6.
|
№ |
х |
m |
x - |
|||
|
1 |
0.00 |
7 |
-0,34 |
0,039304 |
0,275128 |
|
|
2 |
0.01 |
4 |
-0,33 |
0,35937 |
0,143748 |
|
|
3 |
0.02 |
6 |
-0,32 |
0,032768 |
0,196608 |
|
|
4 |
0.03 |
7 |
-0,31 |
0,029791 |
0,208537 |
|
|
5 |
0.04 |
9 |
-0,30 |
0,027 |
0,243 |
|
|
6 |
0,05 |
6 |
-0,29 |
0,024389 |
0,146334 |
|
|
7 |
0,06 |
2 |
-0,28 |
0,021952 |
0,043904 |
|
|
8 |
0,07 |
10 |
-0,27 |
0,019683 |
0,19683 |
|
|
9 |
0,08 |
4 |
-0,26 |
0,017576 |
0,070304 |
|
|
10 |
0,09 |
5 |
-0,25 |
0,015625 |
0,078125 |
|
|
11 |
0,10 |
9 |
-0,24 |
0,013824 |
0,124416 |
|
|
12 |
0,11 |
5 |
-0,23 |
0,012167 |
0,060835 |
|
|
13 |
0,12 |
7 |
-0,22 |
0,010648 |
0,074536 |
|
|
14 |
0,13 |
4 |
-0,21 |
0,009261 |
0,037044 |
|
|
15 |
0,14 |
11 |
-0,20 |
0,008 |
0,088 |
|
|
16 |
0,15 |
7 |
-0,19 |
0,006859 |
0,048013 |
|
|
17 |
0,16 |
6 |
-0,18 |
0,005832 |
0,034992 |
|
|
18 |
0,17 |
5 |
-0,17 |
0,004913 |
0,024565 |
|
|
19 |
0,18 |
8 |
-0,16 |
0,004096 |
0,032768 |
|
|
20 |
0,19 |
4 |
-0,15 |
0,003375 |
0,0135 |
|
|
21 |
0,20 |
3 |
-0,14 |
0,002744 |
0,008232 |
|
|
22 |
0,21 |
1 |
-0,13 |
0,002197 |
0,002197 |
|
|
23 |
0,22 |
1 |
-0,12 |
0,001728 |
0,001728 |
|
|
24 |
0,23 |
3 |
-0,11 |
0,001331 |
0,003993 |
|
|
25 |
0,24 |
3 |
-0,10 |
0,001 |
0,003 |
|
|
26 |
0,25 |
3 |
-0,09 |
0,000729 |
0,002187 |
|
|
27 |
0,26 |
3 |
-0,08 |
0,000512 |
0,001536 |
|
|
28 |
0,27 |
3 |
-0,07 |
0,000343 |
0,001029 |
|
|
29 |
0,28 |
4 |
-0,06 |
0,000216 |
0,000864 |
|
|
30 |
0,29 |
1 |
-0,05 |
0,000125 |
0,000125 |
|
|
31 |
0,30 |
4 |
-0,04 |
0,000064 |
0,000256 |
|
|
32 |
0,31 |
5 |
-0,03 |
0,000027 |
0,000135 |
|
|
33 |
0,32 |
3 |
-0,02 |
0,000008 |
0,000024 |
|
|
34 |
0,33 |
3 |
-0,01 |
0,000001 |
0,000003 |
|
|
35 |
0,34 |
3 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
36 |
0,35 |
3 |
0,01 |
0,000001 |
0,000003 |
|
|
37 |
0,36 |
1 |
0,02 |
0,000008 |
0,000008 |
|
|
38 |
0,38 |
2 |
0,04 |
0,000064 |
0,000128 |
|
|
39 |
0,39 |
3 |
0,05 |
0,000125 |
0,000375 |
|
|
40 |
0,40 |
3 |
0,06 |
0,000216 |
0,000648 |
|
|
41 |
0,43 |
2 |
0,09 |
0,000729 |
0,001458 |
|
|
42 |
0,44 |
2 |
0,10 |
0,001 |
0,002 |
|
|
43 |
0,45 |
3 |
0,11 |
0,001331 |
0,003993 |
|
|
44 |
0,46 |
2 |
0,12 |
0,001728 |
0,003456 |
|
|
45 |
0,47 |
1 |
0,13 |
0,002197 |
0,002197 |
|
|
46 |
0,48 |
2 |
0,14 |
0,002744 |
0,005488 |
|
|
47 |
0,51 |
1 |
0,17 |
0,004913 |
0,004913 |
|
|
48 |
0,52 |
1 |
0,18 |
0,005832 |
0,005832 |
|
|
49 |
0,53 |
2 |
0,19 |
0,006859 |
0,013718 |
|
|
50 |
0,54 |
3 |
0,20 |
0,008 |
0,024 |
|
|
51 |
0,55 |
2 |
0,21 |
0,009261 |
0,018522 |
|
|
52 |
0,56 |
1 |
0,22 |
0,010648 |
0,010648 |
|
|
53 |
0,58 |
2 |
0,24 |
0,013824 |
0,027648 |
|
|
54 |
0,59 |
1 |
0,25 |
0,015625 |
0,015625 |
|
|
55 |
0,60 |
1 |
0,26 |
0,017576 |
0,017576 |
|
|
56 |
0,62 |
4 |
0,28 |
0,021952 |
0,087808 |
|
|
57 |
0,63 |
2 |
0,29 |
0,024389 |
0,048778 |
|
|
58 |
0,64 |
2 |
0,30 |
0,027 |
0,054 |
|
|
59 |
0,65 |
1 |
0,31 |
0,029791 |
0,029791 |
|
|
60 |
0,70 |
1 |
0,36 |
0,046656 |
0,046656 |
|
|
61 |
0,71 |
2 |
0,37 |
0,050653 |
0,101306 |
|
|
62 |
0,73 |
1 |
0,39 |
0,059319 |
0,059319 |
|
|
63 |
0,76 |
1 |
0,42 |
0,074088 |
0,074088 |
|
|
64 |
0,77 |
1 |
0,43 |
0,079507 |
0,079507 |
|
|
65 |
0,80 |
1 |
0,46 |
0,097336 |
0,097336 |
|
|
66 |
0,81 |
1 |
0,47 |
0,103823 |
0,103823 |
|
|
67 |
0,83 |
1 |
0,49 |
0,117649 |
0,117649 |
|
|
68 |
0,84 |
1 |
0,50 |
0,125 |
0,125 |
|
|
69 |
0,88 |
1 |
0,54 |
0,157464 |
0,157464 |
|
|
70 |
0,89 |
1 |
0,55 |
0,166375 |
0,166375 |
|
|
71 |
0,97 |
2 |
0,63 |
0,250047 |
0,500094 |
|
|
72 |
0,98 |
1 |
0,64 |
0,262144 |
0,262144 |
|
|
73 |
0,99 |
1 |
0,65 |
0,274625 |
0,274625 |
|
|
74 |
1,00 |
3 |
0,66 |
0,287496 |
0,862488 |
|
|
75 |
1,02 |
1 |
0,68 |
0,314432 |
0,314432 |
|
|
76 |
1,08 |
2 |
0,74 |
0,405224 |
0,810448 |
|
|
77 |
1,15 |
1 |
0,81 |
0,531441 |
0,531441 |
|
|
Сумма |
239 |
7,229304 |
Определяем третий центральный момент:
м3 = .
м3 = = 0,03025.
As = = 1.537
Для оценки существенности рассчитанного коэффициента ассиметрии определяется его средняя квадратическая ошибка (коэффициент ассиметрии):
уAs =
уAs = = 0.1568
отношение = = 9.8 3, следовательно, ассиметрия является существенной. Очевидно, что в нашем случае это связано со смещением вершины распределения относительно середины распределения.
Мода распределения в нашем случае Мо = 0,14, а = 0,2844, поэтому форму распределения можно представить как
Так как распределение является одновершинным, то необходимо рассчитать еще один показатель оценки его формы - эксцесс. Эксцесс является показателем островершинности распределения. Он рассчитывается как
Ех = -3
Ех = - 3 = 2,935-3 = - 0,065.
Так как Ех 0, то распределение является плосковершинным..
Показатель формы для Ех* = 2,935 2 (находится по специализированным таблицам).
Для изучения показателей формы вариации удобно использовать табличный процессор Excel Он имеет набор средств анализа данных (Пакет анализа), предназначенный для решения статистических и инженерных задач. Вызов осуществляется командой Сервис Анализ данных. Для проведения анализа следует указать входные данные и выбрать параметры. Анализ будет проведен с помощью соответствующей статистической или инженерной функции, а результат будет помещен в выходной диапазон.
Правдоподобно или нет допущение о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, оценим по виду гистограммы, построенной на основании экспериментальных данных.
Произведём разделение на интервалы рассматриваемую совокупность.
1. Количество интервалов определяем по формуле Старджесса:
r = 1 + 3.33lg m
r = 1 + 3.33*lg 239 = 1 + 3.33*2.378 = 8.92.
выбираем 9 интервалов.
2. Ширина интервала d
d =
xmax = 1.15
xmin = 0.00, тогда d = 1.15/9 = 0.127777,
выбираем шаг равным 0,13, тогда получаем интервальное распределение и составим сводную расчётную таблицу.
Таблица 7.
|
№ |
х |
Середина х |
Частота n |
n/r |
n/ |
P(x) |
F(x) |
|
|
1 |
0.00 - 0.13 |
0.065 |
85 |
9.444 |
0.356 |
0.356 |
0.356 |
|
|
2 |
0.13 - 0.26 |
0.195 |
58 |
6.444 |
0.243 |
0.243 |
0.599 |
|
|
3 |
0.26 - 0.39 |
0.325 |
35 |
3.888 |
0.146 |
0.146 |
0.745 |
|
|
4 |
0.39 - 0.52 |
0.455 |
17 |
1.888 |
0.071 |
0.071 |
0.816 |
|
|
5 |
0.52 - 0.65 |
0.585 |
21 |
2.333 |
0.088 |
0.088 |
0.904 |
|
|
6 |
0.65 - 0.78 |
0.715 |
6 |
0.666 |
0.025 |
0.025 |
0.929 |
|
|
7 |
0.78 - 0.91 |
0.845 |
6 |
0.666 |
0.025 |
0.025 |
0.954 |
|
|
8 |
0.91 - 1.04 |
0.975 |
8 |
0.888 |
0.0335 |
0.0335 |
0.987 |
|
|
9 |
1.04 - 1.17 |
1.105 |
3 |
0.333 |
0.0125 |
0.0125 |
1 |
|
|
239 |
1 |
Построим гистограмму и полигон для полученного распределения в Excel. Одновременно рассмотрим полученную функцию распределения F(x) и произведём в этом операторе поиск аппроксимирующей функции.
Выбирая окончательный вариант табличного представления вариационного ряда из представленных вариантов, остановимся на первом - n=9.
|
From To |
Count |
Commulative Count |
Persent |
Commulative Persent |
|
|
0,00<x=0,13 |
85 |
85 |
0,34465 |
0,34465 |
|
|
0,13<x=0,26 |
58 |
143 |
0,24268 |
0,58733 |
|
|
0,26<x=0,39 |
35 |
178 |
0,14644 |
0,74477 |
|
|
0,39<x=0,52 |
17 |
195 |
0,07113 |
0,8049 |
|
|
0,52<x=0,65 |
21 |
216 |
0,08787 |
0,89277 |
|
|
0,65<x=0,78 |
6 |
222 |
0,0251 |
0,91787 |
|
|
0,78<x=0,91 |
6 |
228 |
0,0251 |
0,94297 |
|
|
0,91<x=1,04 |
8 |
236 |
0,03348 |
0,97645 |
|
|
1,04<x=1,17 |
3 |
239 |
0,01255 |
1 |
В таблицах первая непоименованная графа (From To) содержит интервалы значений признака «Количество» Второй столбец «Count» - абсолютные частоты (fi), т.е. число единиц совокупности, обладающих указанным значением признака.
Cumulative Count - накопленные абсолютные частоты, получаемые последовательным суммированием частот по группам. Сумма накопленных частот по каждой строке означает, какое количество единиц совокупности имеет значение признака, не превышающее значения верхней границы данного интервала. Общая сумма накопленных частот соответствует объему изучаемой совокупности (239).
Percent - частости (относительные частоты, wi; выражаются в процентах), рассчитываются:
, или n/r в нашем случае
где: fi - число единиц i-той группы; - общее число единиц в совокупности; wi - доля каждой группы в общем объеме совокупности.
Cumulative percent - накопленные частости - это результат последовательного суммирования относительных частот по группам, итоговая сумма, очевидно, равна 100%.
Табличное представление вариационного ряда позволяет получить подробную информацию о составе и структуре изучаемой совокупности, т.е. определить какое количество единиц изучаемой совокупности обладает тем или иным значением признака и какова доля этой группы единиц в общем объеме совокупности, а также выявить закономерность изменения частот.
Из таблицы видно, что наибольшую частоту (85 или 35.6% от всего объема совокупности) имеет интервал 0.00 - 0.13.
Наименьшую частоту (3 или 1.25%) имеет первый интервал - 1.04 - 1.17
Для более наглядного представления вариационного ряда используют статистические графики.
Статистический график представляет собой чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур (линий, точек или других символических знаков) изображаются статистические данные. В результате этого достигается наглядная характеристика изучаемой статистической совокупности.
Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспринимаемой.
Традиционно для изображения вариационных рядов распределения в отечественной практике используются графики: гистограмма, полигон, кумулята.
На рис. 1. представлен полигон распределения в абсолютных частотах при количестве интервалов n=9. Он показывает, что наибольшую частоту имеет интервал 0.00 - 0.13 т.е. это модальный интервал.
Одной из часто используемых видов графиков является гистограмма (или столбиковая диаграмма), т.е. график распределения, на котором частоты каждого интервала представлены в виде столбиков (рис. 2).
Рис.1
Рис.2
Рис. 3 Функция распределения.
Рис.5. Отношения частостей.
Рис. 6. Аппроксимация плотности вероятности.
Приблизительная аппроксимирующая функция:
у = 0,476 е-0,39х, с достоверностью 0,919.