Аксіоматика шкільного курсу геометрії

курсовая работа

1.1 Розвиток аксіоматичного методу

Аксіоматичний метод широко застосовується в математиці, математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все ж за межами логіко-математичних наук сфера його застосування незначна.

У розвитку аксіоматичного методу розрізняють три етапи:

Перший етап - період змістової аксіоматизації, характеризується аксіоматичною побудовою силогістики в працях Аристотеля і геометрії в «Началах» Евкліда. Особливістю цього періоду є змістове застосування аксіоматичного методу. На цей час ще не існувало точного опису структури доведення, в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію, введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності.

На другому етапі - період напівформальної аксіоматизації (кінець XIX початок XX століття) відбувається поступове звільнення від спроб змістової аксіоматичної побудови теорій і перехід до формального розуміння аксіоматичного методу. Перехід від змістового аксіоматичного методу до напівформального був підготовлений відкриттям неевклідової геометрії М.І.Лобачевским (1829).

На третьому - період формальної аксіоматизації, аксіоматичний метод розуміють як спосіб конструювання формалізованих мовних систем, що веде до чіткого розрізнення штучної формалізованої мови і тієї змістової предметної області, яка в ній відображена.

До XIX століття зразком логічної строгості були «Начала» Евкліда, аж допоки не виявилися суттєві недоліки в їх побудові. Строге аксіоматичне обґрунтування геометрії Евкліда вперше було здійснено наприкінці XIX століття в роботах М. Пієрі (1860 - 1904), Д. Гільберта (1862 - 1943), В.Ф.Кагана (1869 - 1953) та інших. Найбільшу популярність мала система аксіом, сформульована Д. Гільбертом в роботі «Основи геометрії» (1899).

Існують різні системи обґрунтування геометрії, які уможливлюють виведення із запропонованих аксіом усіх теорем евклідової геометрії.

I. Системи аксіом евклідової геометрії, які приймають за вихідне поняття «рух» (М.Пієрі, Ф.Шур, Віллерс, Ф.Бахман, А.Дельсерт).

II. «Метричні» системи аксіом евклідової геометрії (В.Ф.Каган, О.Верлен, Р.Л.Мур, Дж.Д.Біркгоф, О.В.Погорєлов).

III. Векторна аксіоматика евклідової геометрії (Г.Вейль).

Але формально вони еквівалентні, а відрізняються лише методичними підходами до побудови курсу геометрії.

Логічні основи геометрії - це фундамент геометрії, який має відповідати вимогам логіки. А логіка (від давньогрецького лпгпт - слово, розум, міркування) - наука, яка досліджує впорядкованість людського мислення, його закони, форми і прийоми. Основними законами логіки називають закони тотожності, суперечності, виключення третього і достатньої підстави, оскільки вони виражають базові риси логічно правильного мислення. А саме: визначеність, послідовність, несуперечливість і обґрунтованість думки. Основними категоріями логіки є: поняття (їх види і означення), судження, закони логіки, твердження (їх види і доведення), задачі (їх види і розвязання) тощо. Отже, будувати шкільний курс геометрії на логічних основах - це означає всі його поняття, означення, класифікації, твердження, їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Усі складові частини підручника геометрії мають бути коректно викладені з погляду логіки. Досягти цього не легко, але треба.

Вичерпну систематизацію логічних напрямів побудови курсу геометрії було створено Міжнародною комісією з викладання математики на Міланській конференції в 1914 році. Вона містить чотири напрями:

§ А -- формально-логічний;

§ В - досвідно-дедуктивний (рівень ВА , ВВ , ВС );

§ С - інтуїтивно-дедуктивний;

§ О -- інтуїтивно-експериментальний.

Напрям А - характеризується повним відмовленням від інтуїції. Основні поняття (точка, пряма тощо) означаються неявно через аксіоми.

Особливістю напряму В є те, що основні поняття і відношення запозичуються з досвіду. Всі інші міркування та етапи побудови здійснюються дедуктивно. В межах цього напряму розрізняють три рівні:

Ш ВА -- формулюються всі необхідні аксіоми;

Ш ВВ - явно подається тільки частина аксіом;

Ш ВС - формулюються тільки ті аксіоми, зміст яких не здається очевидним.

Напрям С - інтуїтивно-дедуктивний. В побудові курсу одночасно використовується інтуїція і строгі доведення, які не відокремлюються одна від одного.

Напрям В -- інтуїтивно-експериментальний. В побудові курсу геометрії такого рівня основні поняття і відношення запозичуються з досвіду, геометричні факти встановлюють за допомогою експерименту.

Логічні основи побудови шкільної геометрії традиційно повязували з аксіоматичним методом, «Началами» Евкліда та підручниками «Геометрії» академіків А.М. Колмогорова і О.В.Погорєлова. Майже 30 років логічну будову шкільної геометрії ототожнювали зі створенням аксіоматичних навчальних курсів. З того часу у багатьох учителів і методистів утвердилась думка, що логічно коректним можна вважати тільки аксіоматичний курс геометрії.

Делись добром ;)