1.1 Построение гистограммы распределения

Для получения реализации последовательности независимых случайных величин с произвольным распределением используют реализации последовательности независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Случайные равномерно распределенные величины генерируются специальной программой, входящей в математическое обеспечение компьютера, и называемой датчиком случайных чисел.

При моделировании нормально распределенной случайной величины на основе равномерно распределенных величин чаще всего используется центральная предельная теорема:

Пусть последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей с конечным математическим ожиданием . Тогда при имеем:

1) случайная величина , вычисляемая по формуле (1.1), сходится по вероятности к

(1.1)

2) случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение вероятностей с центром и дисперсией, вычисляемой по формуле (1.2), при условии, что существует общая дисперсия величин .

(1.2)

На основании центральной предельной теоремы рассмотрим сумму

,

где - совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин на отрезке R[0,1].

Известно, что каждая из случайных величин с распределением R[0,1] имеет математическое ожидание (1.3) и дисперсию (1.4).

(1.3)

(1.4)

Тогда согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий

,

.

Следовательно, случайная величина (1.5) имеет математическое ожидание и дисперсию и при ее распределение стремится к нормальному.

(1.5)

В данной работе дано количество слагаемых в сумме N, задано математическое ожидание и стандартное отклонение выходной случайной величины y. Если известна случайная величина с распределением N[0,1], то случайная величина с распределением N[] получается в результате линейного преобразования

(1.6)

Гистограмма распределения представляет собой удобный способ представления статистических данных. Гистограмма строится следующим образом:

Пусть имеется выборка случайной величины объемом n: . Из этой выборки определяются минимальные (1.7) и максимальные (1.8) значения:

(1.7)

При данных условиях

(1.8)

При данных условиях

Весь отрезок [A,B] разбивается на K интервалов, как правило, одинаковой длины.

Число интервалов при построении гистограммы не должно быть слишком большим и слишком малым. При большом количестве интервалов в гистограмме обнаруживаются незакономерные колебания. На практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5-10 точек. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса:

(1.9)

где n - объём выборки,

() - операция взятия целой части от действительного числа Если число точек в интервале слишком мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы и пересчитать гистограмму.

Найдя количество интервалов разбиения, можно вычислить длину каждого интервала по формуле:

или

(1.10)

Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин x_k в каждый интервал [) разделить на его длину и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике. Причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок. Таким образом, описанное правило можно изобразить математически:

(1.11)

(1.12)

где и - границы интервала,

- частота попадания выборочных величин в интервал ()

n - объём выборки

- высота прямоугольника на графике

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:

(1.13)

где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:

(1.14)

На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону

(1.15)

В итоге получится гистограмма распределения (см. график 1) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.

График 1 - Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения