Стационарное распределение в системах массового обслуживания с разнотипными заявками и ограниченным числом требований

дипломная работа

4. Построение векторно-матричных уравнений СМО с двумя приборами, требованиями трех типов и конечными буферами

Состояние СМО, вообще говоря, задается тройкой чисел (l,j,k), где l - число заявок в СМО в данный момент времени (l0), j, - номер типа заявки, обслуживаемой на первом приборе, k - номер типа заявки, обслуживаемой на втором приборе. Однако, если перенумеровать все пары (j,k) через m (в случае, когда j{1,2,3}, k{1,2,3}), то состояние СМО можно задавать парой (l,m), где l>1, m{1,.,9}. В случае, когда l=0 имеем пару (0,0), т.е. m=0 (j=0, k=0).

Будем называть множество { (l,m) mL} l-тым уровнем. Обозначим через P (l) вектор стационарных вероятностей l-ого уровня:

P (l) = (P (l,1), P (l,2),., P (l,9)), l>1;

P (1) = (P (1,1), P (1,2),., P (1,6));

P (0) = P (0,0).

Очевидно, что возможные переходы для l-ого уровня схематически можно изобразить следующим образом:

Рисунок 4

Так как на нулевом уровне имеем лишь одно состояние (0,0), то при l=0 L={0}. На первом уровне получаем множество состояний (1,m), где m {1,.,6}, т.е. L={1,2,3,4,5,6}, поскольку в парах (j,k) при l=1 либо j=0 и k{1,2,3}, либо j{1,2,3} и k=0.

На l-том уровне (l>1) имеем множество состояний { (l,k) k=1,.,9}, следовательно, L={1,2,.,9}.

Кроме того, для стационарных вероятностей выполняются следующие соотношения:

Q=0; 1=1,где= (Р (0), Р (1), Р (2), Р (3),.),

Q - инфинитезимальная матрица, имеющая следующий блочный вид:

Для l 2 введем следующие обозначения:

Аlj=A1 при l > j; All=A2; Alj=A3 при l < j.

Таким образом, из соотношения Q=0 имеем с учетом обозначений:

Р (0) A00+ Р (1) A10=0,Р (0) A01+ Р (1) A11+ Р (2) A21=0,Р (1) A12+ Р (2) A2+ Р (3) A1=0, (4.1)

Р (2) A3+ Р (3) A2+ Р (4) A1=0,.

Р (l-1) A3+ Р (l) A2+ Р (l+1) A1=0,.

P (m-2) A3+ P (m-1) A2+ P (m) A1=0

P (m-1) A3+P (m) A2=0

Состояние (l,j,k) при l>2 переходит в состояние (l+1,j,k) с интенсивностью , в состояние (l-1,j,k) - с 1jp (j), в состояние (l-1,j,k) - с 2kp (k), где 1j - интенсивность обслуживания заявки j-ого типа на первом приборе; 2k - интенсивность обслуживания заявки k-ого типа на втором приборе; p (j) - вероятность появления заявки типа j; p (k) - вероятность появления заявки типа k; j, k, j, k{1,2,3}.

Введем следующие обозначения:

1

2

= 3

вектор-столбец интенсивностей обслуживания заявок различных типов;

где 1= 11+21+31,2= 12+22+32,3= 13+23+33,

рТ= (р (1), р (2), р (3)),

I - единичная (nn) матрица.

С учетом введенных обозначений получаем:

A00 = - 2.

Для блоков A01 имеем, что состояние (0,0,0) переходит в сотояние (1,j,0) с интенсивностью p (j) и в состояние (1,0,k) с интенсивностью p (k). Следовательно, блок A01 - строка, состоящая из шести элементов и имеющая вид:

A01= (p (1) p (2) p (3) p (1) p (2) p (3)) или A01= (pТ pТ).

Для блоков A10 получаем, что состояние (1,j,0) переходит в состояние (0,0,0) с интенсивностью 1j, а состояние (1,0,k) переходит в состояние (0,0,0) с интенсивностью 2k. Таким образом, A10 - столбец, состоящий из шести элементов, который имеет вид:

Далее, для блоков A12 имеем, что состояние (1,j,0) переходит в состояние (2,j,k) с интенсивностью р (k), а состояние (1,0,k) переходит в состояние (2,j,k) с интенсивностью p (j). Следовательно, блоки A12 размерности (69) и вида:

или с учетом обозначений

Учитывая вид построенных блоков A10 и A12, блоки A11 размерности (66) и также имеют диагональный вид:

Для блоков A21 имеем, что состояние (2,j,k) переходит в состояние (1,j,0) с интенсивностью 2k, а в состояние (1,0,k) с интенсивностью 1j. Следовательно, блоки A21 размерности (96) и вида:

или с учетом обозначений:

С учетом введенных ранее обозначений блоки A1 имеют вид:

Где

Блоки A3 также имеют размерность (99) и диагональный вид:

т.е.

Блоки A2 также диагонального вида и размерности (99):

Для стационарных вероятностей можно записать:

P (l) = P (l-1) R, l>2.

Таким образом, последнее соотношение из (4.1) будет иметь вид:

P (l-1) (A3+R A2+R2 A1) =0 (4.2)

Введем следующие обозначения:

k=k/,

D= A2/.

Учитывая вид блоков A1, получим:

A1ТI+IрТ, A1/=рТI+ IрТ,

где - символ кронекеровского произведения.

Кроме того, последнее соотношение из (4.1) примет вид:

P (l-1) +P (l) D+P (l+1) (рТI+ IрТ) = 0

С учетом соотношения P (l) =P (l-1) R, l>2 (4.3) получим:

P (l-1) +P (l) D+P (l) R (рТI+ IрТ) = 0 или

P (l-1) +P (l) (D+R (рТI+ IрТ)) = 0.

Следовательно, принимая во внимание соотношение (4.3), имеем:

R = - (D+R (рТI+ IрТ)) - 1.

Полагая R (0) =0, R (N+1) = - (D+R (N) (рТI+ IрТ)) - 1, получим, что R (N+1) R при N.

Таким образом, получены векторно-матричные уравнения для определения стационарных вероятностей состояний СМО с двумя приборами, тремя типами заявок и конечными очередями на каждом приборе.

Делись добром ;)