Стационарное функционирование сети массового обслуживания с ромбовидным контуром
3.2 Составление дифференциально-разностных уравнений
Рассматриваем случайный процесс
,
где h - некоторый достаточно малый промежуток времени.
Тогда вероятность события А будет равна сумме следующих вероятностей:
1) если в промежуток h в систему не пришло ни одного требования и ни на одном приборе обслуживание не закончилось:
2)
3) если в промежуток времени h первая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:
;
4) если в промежуток времени h вторая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:
;
5) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на первую подсистему с вероятностью , то:
6) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на четвертую подсистему с вероятностью , то:
7) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на вторую подсистему с вероятностью , то:
;
8) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел выход заявки из системы с вероятностью , то:
,
;
9) если в промежуток времени h на первую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:
,
;
10) если в промежуток времени h на вторую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:
.
Получим:
,
,
Введем функцию
и составим уравнения Колмогорова:
Используя формулы Тейлора
преобразуем полученное равенство:
Приводя подобные члены, деля обе части равенства на h и переходя к пределу при h>0, получим:
Существуют положительные пределы (по теореме Смита для регенерирующих процессов)
Так как предельные функции не зависят от времени, то уравнения примут вид:
3.3 Решение дифференциально-разностных уравнений
Непосредственной подстановкой можем убедиться, что решением данного уравнения будет:
Для этого найдем
Тогда получим, что
Подставим полученные выражения в уравнения:
Приведя подобные, получили верное равенство. Таким образом,
Ї
действительно является решением дифференциально-разностных уравнений.
Учитывая, что - произвольные функции распределения с конечными математическими ожиданиями
,
стационарные вероятности немарковского процесса будут равны
Из условия найдем, что
Таким образом, доказано, что при любом распределении времени обслуживания заявки с фиксированным математическим ожиданием стационарное распределение немарковского процесса совпадает со стационарным распределением этого же, но марковского процесса. Этим установлена инвариантность стационарного распределения по отношению к распределению времени обслуживания с фиксированным математическим ожиданием для этой дисциплины облуживания.
4 СТАЦИОНАРОНОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ СЕТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ