Стационарное функционирование сети массового обслуживания с ромбовидным контуром

дипломная работа

3.2 Составление дифференциально-разностных уравнений

Рассматриваем случайный процесс

,

где h - некоторый достаточно малый промежуток времени.

Тогда вероятность события А будет равна сумме следующих вероятностей:

1) если в промежуток h в систему не пришло ни одного требования и ни на одном приборе обслуживание не закончилось:

2)

3) если в промежуток времени h первая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:

;

4) если в промежуток времени h вторая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на третью подсистему, то:

;

5) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на первую подсистему с вероятностью , то:

6) если в промежуток времени h третья подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на четвертую подсистему с вероятностью , то:

7) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел переход заявки на вторую подсистему с вероятностью , то:

;

8) если в промежуток времени h четвертая подсистема обслужила одну заявку, и произошел выход заявки из системы с вероятностью , то:

,

;

9) если в промежуток времени h на первую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:

,

;

10) если в промежуток времени h на вторую подсистему поступила заявка с интенсивностью , то:

.

Получим:

,

,

Введем функцию

и составим уравнения Колмогорова:

Используя формулы Тейлора

преобразуем полученное равенство:

Приводя подобные члены, деля обе части равенства на h и переходя к пределу при h>0, получим:

Существуют положительные пределы (по теореме Смита для регенерирующих процессов)

Так как предельные функции не зависят от времени, то уравнения примут вид:

3.3 Решение дифференциально-разностных уравнений

Непосредственной подстановкой можем убедиться, что решением данного уравнения будет:

Для этого найдем

Тогда получим, что

Подставим полученные выражения в уравнения:

Приведя подобные, получили верное равенство. Таким образом,

Ї

действительно является решением дифференциально-разностных уравнений.

Учитывая, что - произвольные функции распределения с конечными математическими ожиданиями

,

стационарные вероятности немарковского процесса будут равны

Из условия найдем, что

Таким образом, доказано, что при любом распределении времени обслуживания заявки с фиксированным математическим ожиданием стационарное распределение немарковского процесса совпадает со стационарным распределением этого же, но марковского процесса. Этим установлена инвариантность стационарного распределения по отношению к распределению времени обслуживания с фиксированным математическим ожиданием для этой дисциплины облуживания.

4 СТАЦИОНАРОНОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ СЕТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

Делись добром ;)