Аксіоматика шкільного курсу геометрії

1.2 Різні підходи та трактування логічних основ геометрії

Основи математики у вигляді логічно досконалої математичної теорії, що виходила з мінімуму вихідних положень, намагався викласти Евклід ще в III ст. до н.е. Основну свою працю грецькою мовою він називав „фпйчеъб”, тобто стихії. Латинською мовою її називали ,,Еlementa” (елементи), російською - „Начала”, тобто початки або основи. Цей твір Евкліда - ранній попередник сучасного способу аксіоматичної побудови математичних наук.

Праця Евкліда складається з 13 книг. Планіметричний матеріал викладено у перших шести книгах, а стереометричний у трьох останніх. У 7-9 книгах подаються елементи теорії чисел, а в 10 - геометрична теорія ірраціональних чисел. Кожна книга починається з означень тих термінів, які зустрічаються в ній, а потім ідуть твердження (теореми і задачі). В першій книзі перераховуються також аксіоми і постулати.

Аксіоматична будова геометрії в «Началах» Евкліда була недосконалою, зокрема:

· не виокремлювалися первісні поняття, а формулювалися означення для всіх понять;

· введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності;

· в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію;

· не існувало точного опису структури доведення.

До XX століття у всіх країнах геометрію викладали за Евклідом. Це було або майже точне наслідування «Начал» (як в Англії), або вільне трактування, подібно до робіт Лежандра (у Франції). Вітчизняні підручники і посібники з геометрії в різні часи будувалися за напрямами В, С, D - від досвідно-дедуктивного до інтуїтивно-експериментального .

До середини XX століття усі вітчизняні школи дотримувалися рівня ВВ, тобто розповідали учням про можливість аксіоматичної побудови геометрії, але формулювали тільки частину аксіом; важливіші і доступніші для учнів теореми доводили, але й використовували знання, отримані з досвіду. Згодом академіки А.М.Колмогоров [4] і О.В.Погорєлов [6] запропонували для загальноосвітніх шкіл курси геометрії, орієнтовані на рівень ВА - відразу формулювали всі аксіоми, потрібні для викладу перших розділів.

Мрією академіка А.М.Колмогорова було привести логічні основи сучасної математики до такого стану, щоб їх можна було викладати в школі підліткам. Навіть у навчальному посібнику для учнів він умістив пункт «Про логічну будову геометрії» [4, с. 372], який починався такими словами.

«Логічно строгий» курс геометрії будують так:

I. Перераховують основні геометричні поняття, які вводяться без означень.

II. За їх допомогою означаються усі інші геометричні поняття.

III. Формулюються аксіоми.

IV. На основі аксіом і означень доводять усі інші геометричні твердження».

А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження.

О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення: «Головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закінчить школу, стане математиками, а тим більше геометрами. Будуть і такі, які в своїй практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою ІІіфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося міркувати, аналізувати, доводити».[8] Поняттям і означенням він не надавав великого значення. Це відмічали навіть його коментатори: «Але означенням в побудові систематичного курсу геометрії відводиться як би другорядна роль. Автор навчального посібника вважає, що нечітке відтворення учнями означення не повинно заважати йому правильно доводити теорему» [8, с. 14]. Так дивилися на шкільну геометрію впродовж двох останніх десятиліть. А оскільки доведення становлять тільки незначну частину логіки, тоді питання про логічну основу шкільної геометрії піднімалось і обговорювалось рідко.

Багаторічна практика переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві. Знання про можливість побудови геометрії на аксіоматичній основі потрібне філософам і математикам. Саме розуміння цього дозволило вченим відкрити неевклідові геометрії, істотно змінити погляди на сутність науки. Ніякої іншої ролі в навчанні геометрії аксіоматика не виконує - ні стосовно кращого осмислення означень понять і доведень теорем, ні щодо умінь розвязувати задачі.

Адаптований для школи аксіоматичний курс геометрії не тільки малозрозумілий через надмірну абстрактність, а й надто бідний змістом. У ньому основна увага звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення найцікавіших питань (коло Ейлера, трикутники Наполеона, чевіани трикутника, паркети і орнаменти, задачі на розрізання фігур тощо) не вистачає часу. Він виявляється недостатнім для моделювання обєктів і процесів реального світу. Люди, тварини, рослини, різні будови і механізми - речі неопуклі, а в шкільній геометрії традиційно обмежувалися вивченням тільки опуклих фігур: опуклих кутів, многокутників, многогранників, тіл обертання. В результаті учні часто не знають, скільки сторін має неопуклий чотирикутник, скільки граней - неопукла шестикутна призма тощо.

Все ж, ще й тепер немало учителів і методистів дотримуються традиційної думки про те, що основне в шкільній геометрії - аксіоми і теореми, що аксіоматичний курс геометрії цікавіший від інших, що він - мов цікава гра, збуджує інтерес учнів. Геометрію вивчають в школі не тому, що вона - «гра», а тому, що вона потрібна багатьом людям. Потрібна так само, як фізика, хімія, географія, астрономія, біологія та інші навчальні дисципліни. Для майбутніх науковців та інженерів вона потрібна як засіб, «знаряддя, таке саме, як штангель, зубило, ручник, терпуг для слюсаря» (О.М.Крилов), для всіх інших -- як чудовий матеріал для розвитку логічного мислення учнів, адже «геометрія - правителька всіх розумових пошуків» (М.В.Ломоносов). А ще вона - великий згусток загальнолюдської культури. «У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет за смаком» (Д.Гільберт). [7]

Логічні основи - необхідна умова побудови шкільного курсу геометрії, але їх не слід зводити до аксіоматичного методу. Бажано так будувати шкільний курс геометрії, щоб усі його поняття, означення, класифікації, твердження та їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки.

Розглянемо кілька алогізмів, яких слід наполегливо позбавлятися.

1. «Означення. Означення -- це твердження, в якому розяснюється (через відомі поняття), які саме обєкти або властивості підпадають під дану назву».

Таке означення не є коректним хоча б тому, що означення - це речення, але не твердження. (Учням краще пояснити так. Означення -- це речення, в якому за допомогою вже відомих понять і їх властивостей розкривається зміст нового поняття).

2. Поділ трикутників на різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні з логічного погляду неправильний, бо кожний рівносторонній трикутник є водночас і рівнобедреним. (Правильною є інша класифікація. Усі трикутники поділяються на два види: різносторонні і рівнобедрені, а рівнобедрені - на рівносторонні і не рівносторонні).

3. Неправильно ні з погляду математики, ні з погляду логіки ототожнювати відстань від точки до променя (чи відрізка) з відстанню від точки до прямої, якій належать промінь чи відрізок. (Таке розуміння відстані приводить до неправильних формулювань теорем і логічно неправильних доведень).

Тепер школи поступово переходять на нові підручники геометрії. Використовуються підручники таких авторських колективів.

· Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.;

· Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г.;

· Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.;

· Апостолова Г. В.;

· Єршова А.П., Голобородько В.В. та ін.;

· Істер О.С.

Вони різні, але логічні основи усіх істотно відрізняються від логічних основ підручників О.В.Погорєлова і А.М. Колмогорова та ін. Жоден з цих підручників не будується на аксіоматичній основі. Це добре, оскільки практика останніх десятиліть переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві.