4.3 Метод Бореля

Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам строится выражение:

Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).

Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А, а остатки через . Имеем (для достаточно больших х)

Зададимся произвольно малым числом ; найдется такой номер N, что для будет:

.

Представим последнее выражение в виде суммы,

.

Второе слагаемое по абсолютной величине , каково бы ни было х, а первое представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х, становится абсолютно при достаточно больших х. Этим все доказано.