1.3 Сумма квадратов n первых чисел натурального ряда.

Поставим себе задачей найти сумму квадратов л первых чисел натурального ряда: 1²+2²+3²+…+(n-1)²+n²

Обозначив эту сумму через S₂, будем иметь:

S₂= 1² +2²+3²+…+(n-1)²+n² (1)

Напишем известную из элементарной алгебры формулу разложения куба суммы двух членов:

(x+1)²=x³+3x²+3x+1 (2)

Будем теперь давать х в формуле (2) значения 1, 2,..., n-1, n. Получим такую таблицу из n строк:

 (3)

Сложим равенства (3) почленно, будем иметь:

После приведения (подчеркнутых членов) и введения обозначений S¹ и S₂ получим:

(n+1)³ = 1+3S₂+3S₁+n (4)

Чтобы получить отсюда S₂, заменим S₁ его значением (4) из предыдущего параграфа и решим уравнение (4) относительно S₂.

Будем иметь постепенно:

3S₂=(n+1)³-(n+1)-(n)+1-3(n+1)n2 Или 6S₂=2(n+1)³-2(n+1)-3(n+1)n

Вынося n+1 за скобку и произведя необходимые преобразования, получим:

6S₂ = (n + 1) (2n²+n) = (n+1) n (2n +1),

или окончательно:

S₂=n(n+1)(2n+1)/6

Так, например, при n=10, S₂=10*11*21/6=385. Мы имеем, следовательно:

1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²=385

Из формулы (5) можно вывести такое любопытное предложение арифметического характера: каково бы ни было целое положительное число n, произведение n(n+1) (2n+1) всегда делится на 6.

В самом деле, выражение

n(n+1)(2n+1)/6

равно S₂, a S₂ как сумма квадратов целых чисел есть число целое.