Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли

курсовая работа

1.7 Выражение суммы k-х степеней n первых чисел натурального ряда через детерминант

Рекуррентная формула (5) предыдущего параграфа дает нам возможность получить непосредственное выражение суммы Sk с помощью детерминанта. Положим в этой формуле k равным k, k - 1, k - 2, k - 3,..., 2, 1, 0, тогда получим такие уравнения:

(1)

Уравнения (1) представляют систему k+1 уравнений с k+1 неизвестными Sk, Sk-1,..., S1 S0. Пользуясь правилом Крамера для решения системы линейных уравнений, будем иметь:

(2)

Сделаем следующие замечания:

1. если в числителе к элементам первого столбца прибавить элементы последнего столбца, то детерминант сохранит свою величину.

2. Так как в детерминанте, стоящем в знаменателе, элементы по одну сторону главной диагонали равны нулю, то детерминант равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Замечая, что элементы, стоящие на главной диагонали, соответственно равны:

заключаем, что произведение их равно:

1*2*3…k(k+ 1) = (k+1)

После указанных преобразований формула (2) примет вид:

(3)

Таково выражение сумм Sk через детерминант.

Делись добром ;)