Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли
1.8 Формула Штерна
Между суммами одинаковых степеней я первых чисел существуют некоторые Соотношения. Так, например, мы видели, что существует соотношение
S3 = S21
В дальнейшем мы получим и другие аналогичные соотношения. Штерн дал более общую формулу, из которой приведенное соотношение вытекает как частный случай. Формула Штерна такова:
(1)
Ее мы докажем с помощью метода математической индукции.
Полагая n = 1, видим, что все S1 ,S2k-1 ,S2k-3, S2k-5 сведутся, к первому члену, т. е. к единице. Мы будем, следовательно, иметь:
(2)
А эту формулу легко доказать непосредственно. В самом деле, имеем:
(3)
Полагая здесь X = 1, имеем:
(4)
Полагая далее х= -1, имеем:
Вычитая почленно (4) из (3), получим:
Сокращая правую и левую части формулы (5) на 2, будем иметь:
а это и есть формула (2).
Таким образом формула (1) верна для n= 1. Предположим, что формула (1) верна для некоторого n и докажем, что тогда она верна для n+1. Введем такое обозначение:
Мы имеем тогда:
Напишем эту формулу так:
(6)
Первый член правой части формулы (6), на основании формулы (1), которая предполагается правильней, равняется:
(7)
Вычислим второй член. Имеем на основании бинома Ньютона:
Вычитая почленно последнее равенство из предыдущего, имеем:
Остальные члены сокращаются.
Умножая обе части последнего равенства на (n+1)k/2, получим:
(8)
Таков второй член правой части формулы (6). Подставляя в фор. мулу (6) вместо первого и второго члена правой части их выражения (7) и (8), получим:
(9)
Складывая члены, стоящие друг под другом в правой части формулы (9), и замечая, что
будем иметь:
(10)
А это есть формула (1) для сумм, состоящих из степеней первых n+1 чисел. Итак, предполагая, что формула (1) верна для сумм из n чисел, мы доказали ее справедливость для сумм из n+1 cлагаемых; но мы видели, что формула (1) верна для n = 1; следовательно, она верна вообще.
Итак, формула Штерна доказана