Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли

курсовая работа

1.8 Формула Штерна

Между суммами одинаковых степеней я первых чисел существуют некоторые Соотношения. Так, например, мы видели, что существует соотношение

S3 = S21

В дальнейшем мы получим и другие аналогичные соотношения. Штерн дал более общую формулу, из которой приведенное соотношение вытекает как частный случай. Формула Штерна такова:

(1)

Ее мы докажем с помощью метода математической индукции.

Полагая n = 1, видим, что все S1 ,S2k-1 ,S2k-3, S2k-5 сведутся, к первому члену, т. е. к единице. Мы будем, следовательно, иметь:

(2)

А эту формулу легко доказать непосредственно. В самом деле, имеем:

(3)

Полагая здесь X = 1, имеем:

(4)

Полагая далее х= -1, имеем:

Вычитая почленно (4) из (3), получим:

Сокращая правую и левую части формулы (5) на 2, будем иметь:

а это и есть формула (2).

Таким образом формула (1) верна для n= 1. Предположим, что формула (1) верна для некоторого n и докажем, что тогда она верна для n+1. Введем такое обозначение:

Мы имеем тогда:

Напишем эту формулу так:

(6)

Первый член правой части формулы (6), на основании формулы (1), которая предполагается правильней, равняется:

(7)

Вычислим второй член. Имеем на основании бинома Ньютона:

Вычитая почленно последнее равенство из предыдущего, имеем:

Остальные члены сокращаются.

Умножая обе части последнего равенства на (n+1)k/2, получим:

(8)

Таков второй член правой части формулы (6). Подставляя в фор. мулу (6) вместо первого и второго члена правой части их выражения (7) и (8), получим:

(9)

Складывая члены, стоящие друг под другом в правой части формулы (9), и замечая, что

будем иметь:

(10)

А это есть формула (1) для сумм, состоящих из степеней первых n+1 чисел. Итак, предполагая, что формула (1) верна для сумм из n чисел, мы доказали ее справедливость для сумм из n+1 cлагаемых; но мы видели, что формула (1) верна для n = 1; следовательно, она верна вообще.

Итак, формула Штерна доказана

Делись добром ;)