Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли

2.2 Выражение суммы k-x степеней n первых чисел натурального ряда с помощью бернуллиевых чисел. Формула Моавра

На основании того, что говорилось в прошлом параграфе, мы можем положить:

 (1)

где b₀, b₁, b₂,…,b_k - коэффициенты, не зависящие от n, но зависящие от k. Эти коэффициенты мы должны определить. Для этого заменим в равенстве (1) n на n-1. Получим:

(2)

Вычтем теперь почленно из равенства (1) равенство (2). Получим:

(3)

Раскрывая по биному Ньютона выражения, стоящие внутри квадратных скобок, делая приведение их и располагая правую часть по степеням n, т. е. по n^k, n^k-1,...,n, получим в правой части (3) многочлен, расположенный по степеням n. Равенство (3) примет такой вид

(4)

где A₁, A₂,...,А_к -- коэффициенты, которые мы не вычисляем, так как они нам не понадобятся. Равенство (4) есть тождество, справедливое для всякого n. Чтобы определить коэффициент b₀, поступим так. Разделим все члены тождества (4) на n^k . Получим:

(4)

Пусть теперь n стремится к бесконечности; тогда все члены правой части (4), кроме первого, стремятся к нулю и в пределе равенство (4) превратится в такое:

1=b₀(k+1), откуда имеем: b₀=1/k+1

Что же касается других коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₄,…,b_k, то заметим, что все они зависят от k. Введем вместо них другие коэффициенты В₁, B,..., B_k с помощью следующих равенств:

(6)

Внесем теперь значения (5) и (6) для коэффициентов b₀, b₁, b₂, b_b..., b_k в формулу (1). Получим:

(7)

Для получения формулы, которая связывает коэффициенты B₁, B₂, B₃,..., B_k, положим в формуле (7) n-1. Получим:

 (8)

Мы напишем эту формулу в несколько ином виде. Для этого положим в формуле (1) n=1, k-1. Тогда согласно (5) b₀=1/2. Формула (1) примет вид:

1=1/2+b,

отсюда = у, и следовательно (так как Ь₁= -B₁): B₁= -1/2

Перенеся единицу в правую часть формулы (8), получим:

Заметим, что так как

то

тогда формула (8) примет вид:

(9)

Формула (9) называется формулой Моавра. Это -- рекуррентная формула; она дает возможность вычислять последовательно коэффициенты B₁,В₂,B₃... Коэффициент B₁ мы вычислили, -- он равен -1/2 . Положим теперь в формуле (9) последовательно k = 2, 3, 4,...

Будем иметь:

Отсюда

Отсюда B₃=0

Продолжая также далее, будем иметь:

Эти коэффициенты называются бернуллиевыми числами по имени математика Якова Бернулли, введшего их впервые в науку.

Это -- рациональные числа. Мы видели, что В₃ и В₅ равны нулю. Можно показать, что все бернуллиевы числа с нечетными указа- тетями, кроме В_{, равны нулю. Бернуллиевы числа обладают многими интересными свойствам которые мы изучим в дальнейшем.

Формула (7) дает общее выражение для суммы S_k при помощи бернуллиевых чисел. Если положить 1, 2, 3, то получим частные случаи, рассмотренные раньше.

С помощью формулы Моавра (9) мы можем вычислить бернуллиевы числа до любого индекса. Приведем значения первых 14 бернуллиевых чисел: