Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли

курсовая работа

2.5 Представление бернуллиева числа в виде детерминанта

Мы видели, что бернуллиевы числа связаны между собой рекуррентной формулой Моавра и могут -быть вычислены последовательно. Однако желательно иметь выражение бернуллиева числа, независимое от предыдущих бернуллиевых чисел. Такое независимое выражение бернуллиева числа как функции его индекса было впервые получено Лапласом.

Мы не будем приводить формулы Лапласа, а дадим независимое выражение бернуллиева числа в виде детерминанта. Для этого воспользуемся формулой Моавра [формула (2) § 4]:

Представим эту формулу в другом виде, введя для краткости биномиальные коэффициенты и написав ее в обратном порядке, начиная с B2m, написав при этом все члены в левой части, а 1/2m+1 и B1=-1/2 перенеся направо. Тогда наша формула получает следующий вид:

(1)

Положим теперь в последней формуле m последовательно равным m, m-1, m-2, m-3,...,1. Получим систему от уравнений с m неизвестными:

Решим эту систему по способу Крамера относительно В2m:

Так как в детерминанте, стоящем в знаменателе, элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то детерминант равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т. е. равен единице.

Имеем окончательно:

Таково выражение бернуллиева числа в виде детерминанта, независимое от предыдущих бернуллиевых чисел. Пример. Вычислим B6:

Делись добром ;)