2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле

Определение 2. Числовой ряд называется гармоническим рядом, а числовые ряды , где , называются обобщенными гармоническими или рядами Дирихле.

Замечание 1. Название гармонического ряда связано с тем, что каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим для двух соседних. (Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если ).

1) Рассматривается гармонический ряд .

Имеет место очевидное неравенство:

.(1)

Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда разбить на группы по 2, 4, 8,…, 2^k-1,… членов в каждой

то каждая из этих сумм в отдельности будет больше ; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n = 2, 4, 8, …, 2^k-1, … Обозначили n-ную частичную сумму гармонического ряда через H_n; тогда, очевидно,

.

Отсюда следует, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.

2) Рассматривается ряд Дирихле .

Он содержит в себе, как частный случай (при s=1), предыдущий ряд.

Так как при s<1 члены рассматриваемого ряда больше соответствующих членов ряда в примере 1, то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не ограничены сверху, так что ряд расходится.

Остался случай, когда s>1; положили для удобства , где .

Аналогично (1), получается неравенство:

.(2)

Выделив, как и выше, последовательные группы членов:

с помощью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов геометрической прогрессии

.

В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа

следовательно ряд сходится.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1) .

Этот ряд является рядом Дирихле с s>1, а, значит, ряд сходится.

2) .

Этот ряд также является рядом Дирихле с s<1, а потому расходится.