2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле
Определение 2. Числовой ряд называется гармоническим рядом, а числовые ряды , где , называются обобщенными гармоническими или рядами Дирихле.
Замечание 1. Название гармонического ряда связано с тем, что каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим для двух соседних. (Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если ).
1) Рассматривается гармонический ряд .
Имеет место очевидное неравенство:
.(1)
Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда разбить на группы по 2, 4, 8,…, 2k-1,… членов в каждой
то каждая из этих сумм в отдельности будет больше ; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n = 2, 4, 8, …, 2k-1, … Обозначили n-ную частичную сумму гармонического ряда через Hn; тогда, очевидно,
.
Отсюда следует, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.
2) Рассматривается ряд Дирихле .
Он содержит в себе, как частный случай (при s=1), предыдущий ряд.
Так как при s<1 члены рассматриваемого ряда больше соответствующих членов ряда в примере 1, то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не ограничены сверху, так что ряд расходится.
Остался случай, когда s>1; положили для удобства , где .
Аналогично (1), получается неравенство:
.(2)
Выделив, как и выше, последовательные группы членов:
с помощью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов геометрической прогрессии
.
В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа
следовательно ряд сходится.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
1) .
Этот ряд является рядом Дирихле с s>1, а, значит, ряд сходится.
2) .
Этот ряд также является рядом Дирихле с s<1, а потому расходится.
- Введение
- 1. Условие сходимости положительного ряда
- 2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле
- 3. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии
- 4. Теоремы сравнения рядов
- 5. Признак Даламбера
- 6. Признак Раабе
- 7. Схема Куммера
- 8. Вывод признаков сравнения из схемы Куммера
- 9. Признак Бертрана
- Заключение
- 3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- 2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- Ряды с положительными членами. Признаки сравнения сходимости положительных рядов. Положительные ряды
- Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- Сходимость рядов с положительными членами
- Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- Критерий сходимости положительного ряда.