Сходимость положительных рядов
4. Теоремы сравнения рядов
Пусть даны два положительных ряда
, где , (А)
, где . (B)
Теорема 3. Признак сходимости положительных рядов. Если для , то из сходимости ряда (А) следует сходимость ряда (В), а из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А).
Доказательство. 1) Пусть ряд (А) сходится, доказывается, что сходится и ряд (В).
Обозначили последовательность частичных сумм ряда (А), а - ряда (В). Так как ряд (В) сходится, то . Из условия следует, что , отсюда следует, что ограничено сверху, а, значит, подпоследовательность частичных сумм имеет конечный предел, т. е. ряд (В) сходится.
2) Пусть ряд (В) расходится, доказывается, что расходится и ряд (А).
Из расходимости ряда (В) следует, что монотонно возрастающая последовательность частичных сумм , т. е. . И так как , то из предельного перехода в неравенстве получается, что , т. е. ряд (А) так же расходится.
Замечание 2. Если условия выполняется, начиная с некоторого номера, то признак сходимости остается в силе.
Замечание 3. Теорема 3 носит название «признак сравнения I».
Теорема 4. Если, хотя бы начиная с некоторого места (например, для ), выполняется неравенство:
, где,(4)
то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех значений В таком случае имеет место:
Перемножив почленно эти неравенства, получится:
Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд , полученный умножением его членов на постоянный множитель , а тогда, по признаку сравнения I, сходится и ряд (А), и т. д.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
.
Данный ряд сравнивается с рядом , который сходится, как геометрический ряд со знаменателем меньше 1. Поскольку , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.
.
Данный ряд сравнивается с гармоническим рядом , который расходится. Так как , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.
7) .
Его сравнивали с рядом , который, очевидно, расходится. Обозначив , составили для них выражения:
Поскольку и ряд расходится, то, по теореме 4, расходится и данный ряд.