Теорема Гурвица и ее приложение

курсовая работа

3. Теорема Ферма

Какие целые числа можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Это один из самых старых вопросов теории чисел, восходящий, по крайней мере, к Диофанту. Полный ответ на данный вопрос дал Пьер де Ферма (французский математик, 17 августа 1601 -- 12 января 1665). Напишем первые несколько целых чисел, представимых в виде суммы квадратов

0; 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20; 25; 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45;

49; 50; 52; 53; 58; 61; 64; 65; 68; 72; 73; 74; 80; 81; 82; 85; 89; 90; 97; 98; 100

Можно сделать несколько экспериментальных выводов. Во-первых, не каждое число представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 3, 6, 11, 12 не представляются в таком виде. Более того, можно заметить, что ни одно число вида 4к+3 не представляются в виде суммы двух квадратов (при целом к). Во-вторых, если каждое из двух чисел является суммой квадратов, то таково и их произведение. Можно сделать и другие заключения.

Остановимся более детально на втором заключении и попробуем обосновать его. Справедлива формула

(1)

Действительно,

и

Из этой формулы, в частности, вытекает, что если каждое из чисел a и b можно представить как сумму квадратов двух целых чисел, то их произведение тоже представимо в таком виде. Формула (1) является простым следствием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

Формула (1) важна для теории чисел. В следующих разделах мы обсудим ее теоретико-числовые приложения, а также и другие аналогичные формулы, важные для теории чисел.

Теорема 1 (Ферма): Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство: Доказательство принадлежит Жоземфу Луим Лаграмнжу (25 января 1736, Турин -- 10 апреля 1813, Париж, французский математик).

Оно опирается на следующую лемму Вильсона: если p - простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируем лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x: 2 x 11, найдется такое число y: 2 y 11, что x*y при делении на 13 дает в остатке 1. Действительно, (13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Обобщение, приведенной выше идеи, приводит к доказательству леммы Вильсона и в общем случае.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n - натуральное число, то ((2n)!)+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=(2n)!(p-2n)(p-(2n-1))*...*(p-1)+1=(2n)!*

*(-1)2n(2n)!+pk+1 ((2n)!)+1(mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2 -1(mod p).

Теперь рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 m [ ], 0 s [], через [] обозначена целая часть числа - наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([]+1)>p2. Значит, по крайней мере, для двух различных пар () и ()остатки от деления , на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m-m2, b=s-s2, будет делиться на p. При этом |a|[], |b| []. Но тогда число a-N b=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2 (mod p), получим, что a+b2 делится на p, т. е. a+b=rp где r - натуральное число (r0, иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a+b2 []<2p, т. е. r=1, и значит, a+b=p. Теорема доказана.

Пример 1:

, , , ,

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Для того чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые сомножители в четных степенях. [3]

Делись добром ;)