Теорема Ляпунова
4. Периодичность решений системы Ляпунова
Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение - периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты
;
и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для :
(1.11)
Здесь - аналитическая функция , разложение которой имеет вид
Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда
,
причем, все коэффициенты - полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так:
Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения .
Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда
, i=1, 2. (1.12)
Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например,
,
Таким образом, коэффициенты - степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.
Таким образом, решения системы (1.8) - функции и - будут периодическими функциями времени.
Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений
, .
Постоянная так же определяется этими значениями
. (1.13)
Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде
, . (1.14)
Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .