Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

курсовая работа

1.3 Локальный экстремум и теорема Ферма

Пусть существует число д>0 такое, что функция f(x) определена в д- окрестности точки x0, т.е. на множестве, и пусть для всех x Є выполняется неравенство

(11)

Тогда говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 локальный минимум.

Аналогично, если существует число д>0 такое, что для всех x Є выполняется неравнство.

(12)

то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 локальный максимум. Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция у= f(x), график который изображен на рис. 12.1 имеет локальные экстремумы в точках х1=1, х2=3, х3=4, а именно минимум при х=1 и х=4 и максимум при х=3.

Теорема 3 (Ферма). Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке х0 и дифференцируема в этой точке, то

f/(x0)=0. (13)

Пусть, например, функция f(x) имеет локальный минимум в точке х0. Тогда в силу (11) для всех x Є =(x0-д, x0+д), выполняется неравенство

(14)

Если x Є , то х-х0<0 и из условия (14) следует, что

(15)

а если x Є , то выполняется неравенство

(16)

Так как функция fдифференцируема в точке х0, то существует предел при в левой части неравенства (15), равный f/-(x0)= f/(x0). По свойствам пределов из (15) следует, что

f/(x0)?0. (17)

Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (16), получаем

f/(x0)?0. (18)

Из неравенств (17) и (18) слдует, что f/(x0)=0.

Замечание 4. Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции у=f(x) в точке локального экстремума (х0, f(x)) параллельна оси абсцисс (рис. 8)

1.4 Теорема Роля о нулях производной

Теорема 4 (Роля). Если функция f(x) непрерывна на отрезка [a, b], принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.

f(а)= f(b), (19)

и дифференцируема на интеграле (a, b), то существует точка о Є (a, b) такая, что

f/(о)=0. (20)

Обозначим М= f (x), m= f(x). По теореме Вейерштрасса на отрезка [a, b], существуют такие точки с1 и с2, что f(c2)=M. f(c1)= m

Если m=M, то f (x)=const, и в качестве о можно взять любую точку интервала (a, b).

Если mM, то m<M, и поэтому f (c1)<f (c2). В силу условия (19), по крайней мере одна из точек c1, c2 является внутренней точкой отрезка [a, b]. Пусть, например, c1 Є (a, b).

Тогда существует число д>0 такое, что Uд1)(a, b). Так как для всех х ЄUд1) выполняется условие f (х)? f (с1)=m, то по теореме Ферма f/1)=0, т.е. условие (20) выполняется при о=с1. Аналогично рассматривается случай, когда с2 Є Є(a, b).

Теорему Роля можно кратка сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая f (a)= f (b)=0 теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Замечание 4. Геометрический смысл теоремы Роля: при условиях теоремы 4 существует значение о Є (a, b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (о; f (о)) параллельна оси Ох (рис. 9)

Замечание 5. Все условия теоремы Роля существенны. На рис.10, 11 и 12 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Роля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале (-2, 2), в которой производная была бы равна нулю.

Делись добром ;)