Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения
1.3 Локальный экстремум и теорема Ферма
Пусть существует число д>0 такое, что функция f(x) определена в д- окрестности точки x0, т.е. на множестве, и пусть для всех x Є выполняется неравенство
(11)
Тогда говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 локальный минимум.
Аналогично, если существует число д>0 такое, что для всех x Є выполняется неравнство.
(12)
то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 локальный максимум. Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция у= f(x), график который изображен на рис. 12.1 имеет локальные экстремумы в точках х1=1, х2=3, х3=4, а именно минимум при х=1 и х=4 и максимум при х=3.
Теорема 3 (Ферма). Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке х0 и дифференцируема в этой точке, то
f/(x0)=0. (13)
Пусть, например, функция f(x) имеет локальный минимум в точке х0. Тогда в силу (11) для всех x Є =(x0-д, x0+д), выполняется неравенство
(14)
Если x Є , то х-х0<0 и из условия (14) следует, что
(15)
а если x Є , то выполняется неравенство
(16)
Так как функция fдифференцируема в точке х0, то существует предел при в левой части неравенства (15), равный f/-(x0)= f/(x0). По свойствам пределов из (15) следует, что
f/(x0)?0. (17)
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (16), получаем
f/(x0)?0. (18)
Из неравенств (17) и (18) слдует, что f/(x0)=0.
Замечание 4. Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции у=f(x) в точке локального экстремума (х0, f(x)) параллельна оси абсцисс (рис. 8)
1.4 Теорема Роля о нулях производной
Теорема 4 (Роля). Если функция f(x) непрерывна на отрезка [a, b], принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.
f(а)= f(b), (19)
и дифференцируема на интеграле (a, b), то существует точка о Є (a, b) такая, что
f/(о)=0. (20)
Обозначим М= f (x), m= f(x). По теореме Вейерштрасса на отрезка [a, b], существуют такие точки с1 и с2, что f(c2)=M. f(c1)= m
Если m=M, то f (x)=const, и в качестве о можно взять любую точку интервала (a, b).
Если mM, то m<M, и поэтому f (c1)<f (c2). В силу условия (19), по крайней мере одна из точек c1, c2 является внутренней точкой отрезка [a, b]. Пусть, например, c1 Є (a, b).
Тогда существует число д>0 такое, что Uд (с1)(a, b). Так как для всех х ЄUд (с1) выполняется условие f (х)? f (с1)=m, то по теореме Ферма f/ (с1)=0, т.е. условие (20) выполняется при о=с1. Аналогично рассматривается случай, когда с2 Є Є(a, b).
Теорему Роля можно кратка сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая f (a)= f (b)=0 теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.
Замечание 4. Геометрический смысл теоремы Роля: при условиях теоремы 4 существует значение о Є (a, b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (о; f (о)) параллельна оси Ох (рис. 9)
Замечание 5. Все условия теоремы Роля существенны. На рис.10, 11 и 12 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Роля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале (-2, 2), в которой производная была бы равна нулю.