Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

курсовая работа

1.7 Обобщенная формула конечных приращения (формула Коши)

Теорема 6. Если функции f (x) и g(x)непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g/(х)?0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка о Є (a, b) такая, что

(38)

Рассмотрим функцию

где число л выберем таким, чтобы выполнялось равенство ц(а)=ц(b), которое равносильно следующему

f (b)-f (a)+л(g(b)-g(a))=0. (39)

Заметим, что g(b)?g(a), так как в противном случае, согласно теореме Роля, существовала бы точка c Є (a, b) такая, что g/(c)=0 вопреки условиям теоремы 4. Итак, g(b)-g(a)?0, и за равенства (39) следует, что

(40)

Так как функция ц при любом л непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), а при значении л, определяемом формулой (40), принимает равные значения в точках а и b, по теореме Роля существует точка о Є (a, b) такая, что ц/ (о)=0, т.е. f/ (о)+лg/ (о)=0, откуда Из этого равенства и формулы (40) следует утверждение (39).

Замечание 8. Теорема Лагранжа- частный случай теоремы Коши (g(x)=x).

Замечание 9. Теорема 4 нельзя получить применением теоремы12.3 к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства (38). Действительно, это дробь по теореме 3 можно записать в виде где о1 Є (a, b), о2 Є (a, b), но вообще говоря о12.

2. Задачи на применение теорем о среднем значении дифференцируемых функций

Задачи на применение теоремы Ролля.

Задача 1. Доказать теорему: если уравнение

(1)

имеет положительный корень , то уравнение

(2)

также имеет положительный корень и притом меньший .

Рассмотрим функцию

Проверим для этой функции условия теоремы Ролля на отрезке

1) как многочлен;

2) .

так как - корень

Условия теоремы Ролля выполняются, отсюда следует

.

Найдём

.

Используя условие (3) получили, что

,

что значит что - корень уравнения (2). Так как , то следовательно .

Получаем что уравнение (1) имеет положительный корень , который больше чем корень уравнения (2).

Задача 2. Показать, что уравнение не может иметь двух различных корней в интервале (0,1).

Доказательство будем проводить методом от противного.

Рассмотрим функцию

Пусть имеет два различных корня в интервале (0,1). Проверим выполнение условий теоремы Ролля на отрезке [:

1) как многочлен;

2) - корни , то

Условия Теоремы Ролля выполняются, а это значит, что существует такая точка

.

Рассмотрим равенство , оно равносильно .

Точки не принадлежат отрезку [, следовательно и интервалу !!!

Не выполняется заключение теоремы Ролля, а это означает, что функция не может иметь двух различных корней в интервале .

Задачи на применение теоремы Лагранжа

Задача 3. Доказать неравенство

, (

Рассмотрим функцию и применим для неё теорему Лагранжа на отрезке

1) f непрерывна на отрезке

2) f дифференцируема на отрезке

условия теоремы Лагранжа выполняются, отсюда следует, что существует такая точка , что:

.

Рассмотрим

:

по свойствам логарифма

.

Производная

, подставим :

.

Получаем что

, где .

Так как по условию теоремы Лагранжа , отсюда следует неравенство

Учитывая (1) получаем, что

(2).

Аналогично при получаем, что

(3)

Из неравенств (2) и (3) следует, что

.

Задача 4. Показать, что

, где

Пользуясь этим, убедиться в том, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .

Рассмотрим функцию

Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на отрезке

Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка , что:

.

Найдём производную: . Подставим с, получим:

Получаем, что:

Из того, что число больше числа на единицу и , следует, что , где для числа выполняется условие

Получаем, что:

Покажем, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .

Возьмём натуральное число и запишем для него полученное равенство:

Из того что , получим:

Рассмотрим неравенство:

Получаем, что если , то выполняется неравенство:

Задача 5. Показать, что разность между синусами синусами двух углов не превышает по абсолютной величине разности между этими углами, взятыми в радиальной мере.

Рассмотрим функцию

Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке

1) непрерывна на отрезке

2) дифференцируема на отрезке

Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка

Найдём производную функции: Подставим

Получаем, что:

Так как может принимать значения только от -1 до 1, то получаем, что:

Так как , получаем, что:

Задача 6.Найти условный экстремум функции при условии

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При поэтому функция в точке имеет условный минимум, а приследовательно, функция имеет в точке условный максимум.

Задача 7.Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения

Решение: Построим функцию Лагранжа

Стационарные точки определим из системы

Умножим первое уравнение на , а второе - на . После вычитания получим

Если , то из первых двух уравнений системы . Но такие значения переменных и не удовлетворяют уравнению связи. Значит и так как то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем: откуда . Таким образом, из (1.27) .

Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа

Далее,

Тогда для при

Получаем

Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалов и , .

Подставляя в (1.28), получаем равенство

Поэтому, при в точке функция имеет условный максимум, а при - условный минимум. Экстремальное значение равно .

Делись добром ;)