Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения
1.7 Обобщенная формула конечных приращения (формула Коши)
Теорема 6. Если функции f (x) и g(x)непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g/(х)?0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка о Є (a, b) такая, что
(38)
Рассмотрим функцию
где число л выберем таким, чтобы выполнялось равенство ц(а)=ц(b), которое равносильно следующему
f (b)-f (a)+л(g(b)-g(a))=0. (39)
Заметим, что g(b)?g(a), так как в противном случае, согласно теореме Роля, существовала бы точка c Є (a, b) такая, что g/(c)=0 вопреки условиям теоремы 4. Итак, g(b)-g(a)?0, и за равенства (39) следует, что
(40)
Так как функция ц при любом л непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), а при значении л, определяемом формулой (40), принимает равные значения в точках а и b, по теореме Роля существует точка о Є (a, b) такая, что ц/ (о)=0, т.е. f/ (о)+лg/ (о)=0, откуда Из этого равенства и формулы (40) следует утверждение (39).
Замечание 8. Теорема Лагранжа- частный случай теоремы Коши (g(x)=x).
Замечание 9. Теорема 4 нельзя получить применением теоремы12.3 к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства (38). Действительно, это дробь по теореме 3 можно записать в виде где о1 Є (a, b), о2 Є (a, b), но вообще говоря о1 ?о2.
2. Задачи на применение теорем о среднем значении дифференцируемых функций
Задачи на применение теоремы Ролля.
Задача 1. Доказать теорему: если уравнение
(1)
имеет положительный корень , то уравнение
(2)
также имеет положительный корень и притом меньший .
Рассмотрим функцию
Проверим для этой функции условия теоремы Ролля на отрезке
1) как многочлен;
2) .
так как - корень
Условия теоремы Ролля выполняются, отсюда следует
.
Найдём
.
Используя условие (3) получили, что
,
что значит что - корень уравнения (2). Так как , то следовательно .
Получаем что уравнение (1) имеет положительный корень , который больше чем корень уравнения (2).
Задача 2. Показать, что уравнение не может иметь двух различных корней в интервале (0,1).
Доказательство будем проводить методом от противного.
Рассмотрим функцию
Пусть имеет два различных корня в интервале (0,1). Проверим выполнение условий теоремы Ролля на отрезке [:
1) как многочлен;
2) - корни , то
Условия Теоремы Ролля выполняются, а это значит, что существует такая точка
.
Рассмотрим равенство , оно равносильно .
Точки не принадлежат отрезку [, следовательно и интервалу !!!
Не выполняется заключение теоремы Ролля, а это означает, что функция не может иметь двух различных корней в интервале .
Задачи на применение теоремы Лагранжа
Задача 3. Доказать неравенство
, (
Рассмотрим функцию и применим для неё теорему Лагранжа на отрезке
1) f непрерывна на отрезке
2) f дифференцируема на отрезке
условия теоремы Лагранжа выполняются, отсюда следует, что существует такая точка , что:
.
Рассмотрим
:
по свойствам логарифма
.
Производная
, подставим :
.
Получаем что
, где .
Так как по условию теоремы Лагранжа , отсюда следует неравенство
Учитывая (1) получаем, что
(2).
Аналогично при получаем, что
(3)
Из неравенств (2) и (3) следует, что
.
Задача 4. Показать, что
, где
Пользуясь этим, убедиться в том, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .
Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на отрезке
Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка , что:
.
Найдём производную: . Подставим с, получим:
Получаем, что:
Из того, что число больше числа на единицу и , следует, что , где для числа выполняется условие
Получаем, что:
Покажем, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .
Возьмём натуральное число и запишем для него полученное равенство:
Из того что , получим:
Рассмотрим неравенство:
Получаем, что если , то выполняется неравенство:
Задача 5. Показать, что разность между синусами синусами двух углов не превышает по абсолютной величине разности между этими углами, взятыми в радиальной мере.
Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке
1) непрерывна на отрезке
2) дифференцируема на отрезке
Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка
Найдём производную функции: Подставим
Получаем, что:
Так как может принимать значения только от -1 до 1, то получаем, что:
Так как , получаем, что:
Задача 6.Найти условный экстремум функции при условии
Решение: Составим функцию Лагранжа
Имеем
Система имеет два решения
Далее
При поэтому функция в точке имеет условный минимум, а приследовательно, функция имеет в точке условный максимум.
Задача 7.Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения
Решение: Построим функцию Лагранжа
Стационарные точки определим из системы
Умножим первое уравнение на , а второе - на . После вычитания получим
Если , то из первых двух уравнений системы . Но такие значения переменных и не удовлетворяют уравнению связи. Значит и так как то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем: откуда . Таким образом, из (1.27) .
Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа
Далее,
Тогда для при
Получаем
Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалов и , .
Подставляя в (1.28), получаем равенство
Поэтому, при в точке функция имеет условный максимум, а при - условный минимум. Экстремальное значение равно .